学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　2010年度入試シリーズ　(4)鴎友学園女子中学校【算数】より

　ある中学校の図書館で、図書委員が本にラベルを貼る仕事をします。次のことがわかっています。

・１年生の委員は２年生の委員よりも６人多く、３年生の委員は２年生の委員よりも４人少ない
・委員１人が１日で貼る数は、２年生と３年生は同じ、１年生はその半分
・１年生だけではちょうど８日かかり、２年生だけではちょうど６日かかる

３年生だけでは何日かかりますか。

　ラベルを貼るという「仕事」ですね。

　９日

　結局のところ、仕事算です。ただ、能力（仕事の速さ）は、委員１人あたり１日で貼る枚数と人数で決まるところに注意が必要です。

　まず、１年生と２年生の委員１人あたりが１日に貼る枚数の比は、１：２で表せます。
また、同じ仕事を１年生は８日、２年生は６日かかることから、逆比を利用して１年生と２年生の能力の比は３：４となることがわかります。

　いま、１年生がア人、２年生がイ人だとすると、１×ア：２×イ＝３：４となることから、ア：イ＝３：２とわかります。

　ここで、アとイの差が６人ですから、比１あたり６人となり、ア＝18人、イ＝12人となります。３年生の委員１人あたり１日で貼る枚数は２年生と同じ２で、人数は２年生より４人少ない８人なので、これらをまとめると下の表のようになります。
　これより、144÷16＝９日とわかります。

　一見、単純な問題のようですが、委員１人あたりが１日で貼る枚数が異なることをどう処理するかで悩んだ受験生が多かったことでしょう。
１人あたりの単位仕事量が全員同じならば能力が人数比になるということを公式的に覚えていたのでは、意外にも歯が立たない問題です。

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　2010年度入試シリーズ　(1)桐朋中学校【算数】より

　ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分３人ずつの割合で人が加わります。午前10時に１つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に２つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

　　ニュートン算の基本です。

　10時24分

　非常に基本的なニュートン算ですが、前回ニュートン算が表で解けることを紹介したので、せっかくですから入試問題を表で解いてみましょう。
まず、並んでいる180人をなくすわけですから、
全体の仕事の量が180であると考えられます。
窓口が１つの場合80分で仕事が終わり（行列がなくなり）ますが、毎分３人ずつ並んできてしまうため、
能力（１分でこなせる仕事）は３減らされてしまいます。これらを、表に整理すると下の黒字ようになります。

　これより、実際の能力（仕事の速さ）は180÷80＝2.25となり、はじめの能力は5.25とわかります。窓口１つの能力が5.25ですから、窓口２つのときのはじめの能力は5.25×２＝10.5です。よって、窓口２つのときの実際の能力は10.5－３＝7.5ですから、これを表の中にうめていくと、上の青字になります。
　以上より、求める時間は180÷7.5＝24となり、開始が10時なので10時24分となります（赤字）。

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「ニュートン算＝倍数算＋仕事算」と、気づいていますか？

　ある牧草地で、牛10頭を放しておくと10日で草を食べつくしてしまいます。また、この牧草地で、牛12頭を放しておくと８日で草を食べつくしてしまいます。
では、この牧草地で、牛18頭を放しておくと草をたべつくすのに何日かかりますか。
ただし、この牧草地は一定の割合で草が生え続けています。

　増加と減少が同時に起こる、いわゆるニュートン算です。

５日

　　さて、ニュートン算が難しいと感じられる点はどこでしょうか・・・？

それは、「増加と減少が同時に起きている」という点に加え「増加と減少のうち一方は個数に比例するものの、他方は個数に関係なく絶えず一定である」という点に他なりません。

その点を単純化してある問題が、いわゆる仕事算です。

「12人ですると６日で終わる仕事を８人ですると何日か？」
実際に行う仕事は人数に比例しますから、１人で１日にする仕事の量を１とすれば、全体の仕事量は12×６＝72となり、これを８人で行うので72÷８＝９日とわかります。

　しかし、ここで絶えずこの仕事が１日に増えていくことを考えます。

例えば、仕事を行う人数に関係なく、毎日仕事が２ずつ増えていくとしましょう。
すると、12人では１日に12の仕事を行いますが、２だけ増えてしまうので結果として12－２＝10しか仕事をすることができません。
また、８人の場合も同様に１日あたり８－２＝６しか仕事をすることができなくなってしまうのです。
これにより、実際に12人で行う仕事の量は（12－２）×６＝60となり、これを８人で行うとすれば60÷（８－２）＝10日となるのです。

このように、一見複雑そうなニュートン算ですが、仕事算のように表に整理してみると簡単です。上３段が能力（仕事の速さ）の変化についての倍数算、そして下３段が実際の能力での仕事算となっているのです。

では、ニュートン算の仕組みがわかったところで、本題を解いてみましょう。
まず、表に整理すると下のようになります。

同じ仕事（草を食べること）をするのに、10日と８日かかっているわけですから、実際の【の】はその逆比となり４：５であることがわかります。これにより、はじめに10：12だった能力が、同じ分だけ減って４：５になっているので、一定である差で比をそろえます。これにより、牛１頭あたりの能力が１で、変化が－２であることがわかります。

全体の仕事が８×10＝80とわかるので、同じようにして牛18頭の場合を考えてみます。実際の能力は18－２＝16となり、80÷16＝５日と求められます。

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慎重さは大切にしたいものです。

　ある草野球チームは、昨年の夏の野球大会のときにメンバーは全部で56人で、平均の年令は28才でした。今年は、夏の野球大会までに新しく８人のメンバーが加わりましたが、平均の年令は28才のままでした。新しく入った８人のメンバーの平均の年令は何才ですか。

　あえて、なしにします。

　21才

　平均が変わらないわけですから、あとから入った８人のメンバーの平均も28才では？と、思いがちですが、実はそうではありません。

　昨年からいたメンバーは、今年１才年をとっていますから、平均29才の56人に、新しく８人が加わって平均28才にしなければならないのです。

　よって、今年のメンバー全員の年令の合計は64×28＝1792才です。このうち、昨年からいたメンバーの年令の合計は56×29＝1624才ですから、新しく入った８人の合計は168才とわかります。
これより、168÷８＝21才となります。

　平均に対して瞬時に反応できた方が、逆に誤答を導きやすい問題といえるでしょう。何よりも慎重さが大切だというメッセージが隠れた問題です。

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昭和女子中より。「特珠算を使える条件」についての理解度が問われます。

下の図で斜線部分の面積が61平方センチメートルで、白い部分の面積が148平方センチメートルのとき、AC、CDの長さをそれぞれもとめなさい。

(昭和女子中）

「図形」分野の問題ではありません。

斜線部分の2つの三角形の底辺を4倍してみます。
CF´の長さは20cmになり、CG´の長さは36cmになり、斜線部の面積は61×4＝244平方センチメートルになる。

ここで、CF´＝CBなので、三角形ABCと三角形ACF´の面積は同じ。
よって上図の斜線部244平方センチメートルと白い部分148平方センチメートルの差は三角形CDEと三角形DCG´の差となる。

この2つの三角形は高さがCDで共通、底辺がそれぞれ12cmと36cmであるから、
（36－12）×CD÷2＝244－148＝96
という式が成り立つ。

よってCD＝8cm
白い部分の面積は148平方センチメートルで、三角形CDFの面積は12×8÷2＝48センチメートルなので、
三角形ABCの面積は148－48＝100平方センチメートル。

BCの長さは20cmであるから、CDと同様に求めてAC=10cm

答え：AC＝10cm、CD=8cm

本問は「消去算」に分類される問題です。

2つの未知数について方程式でいう加減法をつかって解く問題です。

斜線部も白い部分もまとめての面積しか与えられておらず、１まとまりとして考えます。
すると、2つの未知数を取り扱う特珠算だと判断できます。

求積問題では、高さ、底辺などの公式のパーツを算出していくタイプと、
相似、和差算、消去算などを活用して面積を1つの値として取り扱うくタイプがあります。
本問は後者の中でも不慣れな生徒の多い問題です。

～今回の問題より導かれる出題校からのメッセージ～
特珠算の仕組みを理解していることが大切

本問のように、特珠算を見慣れない題材（特に図形）で出題すると正答率は格段に低くなります。

特珠算は、方程式の代用品と考えて差し支えないものです。
つまり「未知数の数とその数以上の条件式が存在する」という状況を把握したのならば、使えるものなのです。

このように一般化して消化できておらず、
切手やフルーツなどの題材でのみ機械的に練習を積み重ねている生徒には手も足もでず、
また解説を理解することも不可能な問題です。

出題者は、負の数の理解と処理能力が必要となる方程式の使用は期待していません。
「状況を把握して、適切な手法を選ぶ」力を身につけておくことを要求しているのです。

これは、その日に学ぶ内容がタイトルとしてつけられているカリキュラムでは身に付きにくい力です。
普段から、「どのようなときに、なぜそう解くのか」を理解しながらさまざまな解法を学んでいく姿勢が必要です。

専大松戸中より。 使用する特殊算の判断能力が問われます。

直角三角形ABCと直角三角形DBEを下の図のように重ねました。
（１）三角形ABCと三角形DBFの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
（２）（３）省略

(専大松戸中）

線分比にだけとらわれると行き詰まります。

AD：DB＝１：１より、三角形ADFの面積：三角形DBFの面積＝１：１
BC：CE＝２：３より、三角形FBCの面積：三角形FCEの面積＝２：３
ここで、三角形ABCの面積は6×（6＋6）÷2＝36、
三角形DBEの面積は6×（6＋9）÷2＝45より

三角形DBFの面積は＝11.25なのでもとめる三角形ABCと三角形DBFの面積の比は
36：11.25＝16：5

答え：16：5

図形が典型的な「線分比と面積比」のものなので、単純な戦略に固執してしまいがちな問題です。

AF：FCを求めることができれば三角形DBFの面積は簡単に求まるのですが、この方針はすぐに行き詰ってしまいます。
このような典型的な図形から、すぐに「線分比と面積比」を思い浮かべることができるのは、きちんと練習を積み重ねてきた証拠です。

本問では、そこで行き詰った上での思考力が問われます。
未知数と与えられた式の数が同じか、式の数の方が多い場合、消去算、鶴亀算は当然考えなくてはいけない方針なのです。

～今回の問題より導かれる出題校からのメッセージ～
特殊算を使える場面を正確に判断する力が大切

テキストでは消去算はたいてい「りんごと○個とみかん○個を買うと・・・円」といった問題が並んでおり、
鶴亀算では「50円切手○枚と80円切手○枚を買うと・・・円」といった問題が並んでいます。

特珠算は、その作業自体は単純で方程式のように機械的に答えを算出することができます。

しかし、特珠算が本当に難しいのは、初めてみる問題文の状況設定の中において、
その条件をしっかり読み取り使いこなすことです。

つまり特殊算は「どのような状況なら使えるのか。」ということについてきちんと一般化されて理解しておくことが大切なのです。
本問のように、違った分野の典型問題を解いている最中には、「見たことがある！」という気持ちに引きずられて、
既知の方針に固執してしまいがちです。

本問は、そのような状況下でも、冷静に他の方針を検討するという姿勢が問われている良問です。

今週は洛南高等学校附属中より1問です。

ある商品をいくつか仕入れました。1日目は定価で売ったところ、14個が売れ残りました。ここで売るのをやめると、仕入れ値2個分だけ損をすることになる ので、残りを2日目には仕入れ値の半額で、3日目には仕入れ値の1/4の価格で販売して売り切ることができました。全体として得られた利益は仕入れ値4個 分でした。
（１）3日目に売れた商品は何個ですか。
（２）省略

（洛南高等学校附属中）

値段の実数が全く提示されていませんね。うま く処理してください。

仕入れ値を1とすると、3日間の利益は4であった。

1日目の時点では、2の損が出てしまう状況である。
これは、残りの14個分で0円の売り上げと計算したことによる。

よって、2日目、3日目の2日間で、この14個によって6個分の売り上げを得られればよい。
0.5のものと、0.25円のものを合わせて14個売って、6の売り上げを得る。

つるかめ算を使うと

0.5×14＝7
7－6＝1
1÷（0.5－0.25）＝4・・・3日目に0.25で売った個数

答え　4個

解答では仕入れ値を1で処理しましたが、100で処理したほうが小数を使うことを避けられ、 賢明でしょう。

ポイントは、つるかめ算です。

本問は一見、「仕入れ値・定価・割引」の典型問題です。

つるかめ算の使いどころに関して、しっかりと整理されていなければ
思いつくことは難しいかもしれません。

最初にわからない数を文字でおくという習慣の ない小学生にとって、
解答の途中でつるかめ算のような算術で解を求めるというのはとても難易度の高い問題となります。

「未知数が2、合計とそれぞれが含まれる関係式が1つという条件が満たされれば、つるかめ算」
という整理をしているかどうかが分かれ目です。

～今回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
・今習っている技術は何のためなのか。一般化する能力が大切です。

差集め算、過不足算などは、計算技術です。

中学生になると方程式と呼ばれるものです。

教科書においては、それぞれの算術がタイトルとなって、
習得しやすい典型問題を繰り返すことになります。
しかし、これらは、あくまで算術。

未知数の数と条件の整理によって、あらゆる分野に適応させるべき技術なのです。

図形の問題の最中に、つるかめ算、相当算を想像できるでしょうか。
それどころか、和差算を想像することすら難しい生徒がたくさんいます。

一体何のための算術なのか。

それを理解できなければ、中学以降の数学はゼロからのスタートになってしまいます。

「小学生のやる算術は頭の柔らかさを鍛えるもの。中学以降の、頭をあまり使わない機械的な方程式とは違う。」という考え方は、あまりにも方程式の機能と奥 深さ、壁の高さを無視したものです。

まずは、それぞれの算 術を使える条件を洗い出してみること。

それが、昔ながらの算術をわざわざ勉強した時間を有意義なものにし、
わざわざ出題する中学校の期待にこたえるスタートとなるでしょう。

浦和明の星中より。基本問題の目先を上手に変えた問題です。

下の図のように、点Oを中心とする半径60mと半径40mの2つの半円があります。
明子さんは、点Aから出発して半径60mの半円の円周上を点Aから点Bまで往復し、
星子さんは点Cから出発して半径40mの円周上を点Cから点Dまで往復します。

2人の速さは同じで、星子さんが点Cから点Dまでの片道を移動するのに50秒かかります。
2人が同時に出発するとき、次の問いに答えなさい。

（１）初めて点Oと2人の位置が一直線上に並ぶのは出発してから何秒後ですか。
（２）2度目に点Oと2人の位置が一直線上に並ぶのは出発してから何秒後ですか。

　
（浦和明の星中）　　　　　　　　　　　

「一直線上」をしっかりと意識すると、見慣れた問題に落としこめます。

（１）
星子さんの回転する角度は180÷50＝3.6度/秒
明子さんの回転する速度は同じだが、
より半径の大きい半円を回っているので、同じ時間で回転する
角度は小さくなる。

半径の比が60：40＝3：2であるので、同じ長さの弧に対する中心角は2：3となる。

よって回転する角度は3.6×2/3＝2.4度/秒
一直線上になるということは、つまり二人合わせて180度回転した時であるから、
180÷（3.6÷2.4）＝30秒後
答え：30秒後　

（２）
2度目に一直線上になるということは、2人の回転した合計角度が540度になるときです。
540÷（3.6÷2.4）＝90秒後
答え：90秒後

時計の針の問題以外で回転 角の速さを考える問題に取り組んだことのある生徒はほとんどいなかったのではないでしょうか。

当日、後回しにした生徒も多かったようですが、時計を想像すればかなりの易問です。

ポイントは、一直線の 状態をきちんと記入してみること。

そして、その状態を求める上での必要条件を整理することです。
一直線上について検討する作業を通じて、回転角を活用することにたどり着きます。

（２）は意外と気づかないまま受験を迎えてしまう生徒が多いのですが、旅人算の隠れた基本です。

「距離がわからなくても、ある区間ABにおいてA、Bから向かい合って出発し
X分後に出会った二人が2回目に出会うのは３X分後。」

絵を描いて二人が進む距離を考えるとわかります。

～今 回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
普段から問題に含まれている重要項目を確認することが大切

浦和明の星中の算数は、入学後の数学に耐えられる生徒を集めようという意志が
強く感じられる内容になっています。

図形の性質を活かして式を立てるなど、
単純に図形センスを測定する問題と括ることのできない内容になっています。

ポイントは、図形の性質について深い理解をしておくこと、求積の公式についてその成り立ちをしっかりと理解しておくことです。

「正方形だから・・・」だけでなく、
「・・・・だから正方形」「正方形とは・・・」

などの形で知識を再確認しておくことが有益でしょう。

本問は、角速度について正しくイメージする基本的な力を問う問題です。
時計の問題との類似性を見抜けないのは、

「角度と速度の問題」がいつのまにか「時計の針の出会う問題」

という表面的な形でインプットされてしまっているからです。（実際の出題も多いのですが。）

本質的な部分をくずさず、目先を変えてくるという、
普段から、一段深いレベルで問題を分析する習慣の大切さを問いかけてくる良問です。