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2011年02月15日

サイコロの塗りわけ【対象学5年生以上】




サイコロの塗りわけ【対象学5年生以上】






1から6までの数字がかかれたサイコロがあります。6色の絵の具を使い、隣り合う面が違う色になるように塗り分けます。全部で何通りの塗り方がありますか。6色すべてを使う必要はありません。
























使う絵の具の種類によって場合わけしていきます。




























4080通り








(i)3色で塗り分ける場合
1と6,2と5,3と4を同じ色にします。
1と6の塗り方は6通り,2と5の塗り方は5通り,3と4の塗り方は4通りなので6×5×4=120通り

(ii)4色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち2組を選んで2色使います。そして残りの2面に使っていない4色のうちから1色ずつつかいます。
選ばれた2組をAとB,残りの2面をCとDとすると塗り方は6×5×4×3=360通りです。
AとBの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から2組選ぶので3通りあります。よって4色で塗り分けるのは360×3=1080通り

(iii)5色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち1組を選んで1色使います。そして残りの4面を4色で塗り分けます。
選ばれた1組をA,残りの4面をB,C,D,Eとすると塗り方は6×5×4×3×2=720通りです。
Aの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から1組選ぶので3通りあります。よって5色で塗り分けるのは720×3=2160通り

(iv)6色で塗り分ける場合
6×5×4×3×2×1=720通り

以上より合計4080通り

場合の数に関する基本事項が全て含まれている良問です。
和の法則,積の法則,そして「まず枠組みのパターンを決定して,塗り分けを考える」という手順です。
解答の(i)~(iii)にあるように,まず「どことどこを同じ色にするか」ということが先決です。下の図のような地図の塗り分け問題は見たことがあるのではないでしょうか。

20110219-1.gif


この場合も,まずどことどこを同じ色にするかを決定します。4色で塗り分けるなら、AとEを同じにするかBとCを同じにするかCとEを同じにするかのパターンがありますね。

さらに場合の数の応用として,「回転させて同じになるものは1通りと考える」というものがあります。
本問をサイコロではなく,数字の書いていない立方体と考えて「6色すべてを使って塗り分けるのは何通りか。」を考えてみてください。






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2011年01月18日

小問の誘導と対称性の利用(3年生以上)




小問の誘導と対称性の利用(3年生以上)






1辺1cmのサイコロを右図の1辺1cmの正方形が12個ならべられた台紙(下図)のうえを
すべて1回ずつ通るように移動させます。


20110118-1.gif

(1)図の左下(頂点Dをもつ正方形)から始めた場合、転がし方は何通りありますか。
(2)スタートする正方形を自由に選ぶとき、何通りの転がし方がありますか。

                                 2011開智中先端A入試改題
























(1)は自分なりの基準を作って実際にやってみましょう。
(2)(1)の結果を利用できる方法はないか考えてみましょう。



























(1)6通り
(2)64通り









(1)何回か実際に転がしてみましょう。そうすると、横に2マス以上転がしたあと、段をかえてしまうと空白ができてしまうことに気付きます(たとえば下図)。

20110118-2.gif

よって段を変える前に、それより左側のマスをすべて通っておく必要があるため、どこのポイントで横にまっすぐ進むかを基準にルートをえらべばよいことになります。そうすると、以下の6通りの通り方が考えられます。

20110118-3-1.gif
20110118-3-2.gif

(2)スタートの正方形をどこでも選んでよいので、一見とても大変な問題に見えるかもしれません。しかし、4角はひっくり返したり、裏返したりすれば、(1)とまったく同じ状況になる(下図a
☓部分は結局6通りずつである)とわかれば、処理の手間がかなり減ります。

20110118-4.gif

同様に、上図の◯の部分、△の部分も、すべて同じ数ずつ通り方があることになります。

つまり◯からスタートする場合と△からスタートする場合を1つずつ調べてそれを4倍すればいいわけです。

(ⅰ)◯からスタートする場合

最初に上に進んでしまうと、(1)のときと同様、通れないマスができてしまいますから、最初に◯より左側、または右側をすべてうめておかなければいけません。
どちらかをうめたあとは(1)と同様、横にまっすぐ進む前に、その後ろ側をすべてうめておかなければなりませんね。よって最初に左側をうめる場合が4通り、右側をうめる場合が1通りで、合わせて5通りの通り道があります。

20110118-5.gif

(ⅱ)△からスタートする場合も(ⅰ)の場合と同様のルールで数えましょう。

0118-6.gif

この場合、最初に左側に行く場合に3通り、右側に行く場合に2通りの合わせて5通りの通り道があります。


以上より、図aの☓部分からのスタートが6通り、◯部分・△部分からのスタートがそれぞれ5通りあるので、全部で

(6+5+5)×4=64 通り の通り道があることになります。


このように、複雑に見える問題でも、まず手を動かしてルールや基準を発見すれば、正確に数えることができます。そしてそれをうまく使って、より複雑な問題を解けないか、と考える姿勢を持ちましょう。対象学年は3年生以上としましたが、特別な知識も不要な問題という点では、もっと低学年の人でもできる問題ですね。







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2010年11月02日

【超有名問題】囚人のジレンマ【対象学年:5年生以上】2010-11-02


 【超有名問題】囚人のジレンマ【対象学年:5年生以上】

AとBは共同で犯罪を行ったとされ逮捕されました。2人は別室に隔離されました。警官はこの2人に自白させるために、彼らの牢屋をそれぞれ順に訪れ、以下の取引を持ちかけました。

「もし、おまえらが2人とも黙秘したら、2人とも懲役2年だ。だが、共犯者が黙秘していても、おまえだけが自白したらおまえだけは刑を1年に減刑してやろう。ただし、共犯者の方は懲役15年だ。逆に共犯者だけが自白し、おまえが黙秘したら共犯者は刑が1年になる。ただし、おまえの方は懲役15年だ。おまえらが2人とも自白したら、2人とも懲役10年だ。」

つまり、
・どちらか一方が自白すれば、自分の刑は1年になり、黙っていた方は15年になる。
・両方が自白すると、2人とも懲役は10年
・両方が黙っていると、2人とも懲役2年
という条件(ルール)が提示されました。

(なお、2人は双方に同じ条件が提示されている事を知っているものとする。また、彼らは2人は別室に隔離されていて、2人の間で強制力のある合意を形成できないとする。)

ここで、Aは共犯者のBを裏切って自白すべきか、それとも黙秘すべきか判断しなさい。




















Bが黙秘した場合、裏切って自白した場合、それぞれに分けて、Aの行動を考えます。



















裏切って自白すべき


20101102.png

Bが裏切って自白した場合(上表:赤の部分) 
⇒ Aは自分が黙秘すると15年懲役、自白すると10年懲役。したがって、裏切って自白したほうが懲役年数は少ない。

Bが黙秘した場合 (上表:青の部分)
⇒ Aは自分が黙秘すると2年懲役、自白すると1年懲役。したがって、裏切って自白したほうが懲役年数は少ない。

Bが自白しようが、黙秘しようが、Aにとって懲役年数が少なくなるのは、裏切って自白した場合となる。したがって、Aにとっての最適戦略は「裏切って自白」となる。

(有名な「囚人のジレンマ」です。この問題は一回完結タイプであり、判断が繰り返しになる(繰り返しの回数を知っている)と違った判断が得られます。これもいつか「今週の1問」で取り上げます。)

ゲーム理論という分野の有名初歩問題です。小学生にとってもおなじみの思考パターンですね。「起きる事象を場合分けし、そのそれぞれについて検討する」。論理的な場合分けの力と、丹念に考えを積み上げる力は訓練ですぐに身につきます。

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2010年09月14日

対称性を利用する 2010-09-14




 対称性を利用する【対象学年:4年生以上】





1-9までのカードが、一枚ずつあります。
このカードを並べて3桁の数を作ったとき、十の位が一番大きく、つぎに百の位、一の位の数字が1番小さくなるような並べ方は何通りありますか。

























まずは、書き出してみましょう。
また、あることに気づくと解くのがぐっとらくになります。
























84通り







(解法1)



十の位、百の位、一の位の順に数が大きいのですから、その順に樹形図などを使って整理していきましょう。

0914.gif



そうすると、十の位が「9」のとき、7+6+5+…+2+1=28通り
十の位が「8」のとき、 6+5+…+2+1=21通り
同様に、十の位が「7」のとき、 5+4+…+2+1=15通り
「6」のとき、 4+3+2+1=10通り
「5」のとき、 3+2+1=6通り
「4」のとき、 2+1=3通り
「3」のとき、 1通り

となります。
十の位が1または2の場合は百、または一の位が十の位より大きくなってしまうため、ありません。



よってこれらすべてを加えると、84通りとなります。



(解法2)



実はこの問題に関しては、9×8×7÷6=84という式でも求められます。
理由は以下の通りです。

1枚の1~9までの数字を並べてできる数字は全部で9×8×7通りあります。このうちどの3枚を選んだときも、百の位、十の位、一の位の数字の大きさは(百,十,一)の順で、
(大・中・小)(大・小・中)(中・小・大)(中・大・小)(小・中・大)(小・大・中)の6通りができます。
このうち問題の条件を満たすものは1つだけですから、全体を6で割ると答えが出ます。



このように、ある条件を満たす複数のものが、均等に散らばっている状態を「対称性がある」といいます。円卓に人が座っていくような場合などにもこういった考え方で、全体を均等に割れば答えが求まったりしますね。


また、この問題では、1~9までの数字から3枚を選んだとき、その3枚の並び方のうち、条件を満たすのは1つだけですから、結局
「1~9から3枚選ぶ選び方が何通りあるか」という組み合わせを求めるのと変わらないことになります。
こういった問題文の読みかえ、言いかえも重要な考え方のひとつです。












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2010年08月31日

うまく数えよう(場合の数) 2010-08-31




 うまく数えよう(場合の数)【対象学年:5年生以上】





10個のりんごをAさん、Bさん、Cさんの3人に配ります。3人がもらうりんごの数の分かれ方は何通りあるか。もらわない人がいても良い。
























 一列に並んだ10個のりんごを想像してください。Aさんが左からいくつ取るかを決め、「ここまで貰う」という印で線を引きます。つぎにBさんが残りのりんごについて左からいくつ取るかを決めて線を引き、残りをCさんが取るという作業で貰う個数を決めていきます。






















 12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めればよく 12×11÷(2×1)=66通り





Aさんが3個、Bさんが4個、Cさんが3個貰うとすると、並んだりんごにはは次のように線が引かれています。

◯◯◯|◯◯◯◯|◯◯◯

Aさんが0個、Bさんが4個、Cさんが6個貰うとすると次のようになっています。

|◯◯◯◯|◯◯◯◯◯◯

Aさんが2個、Bさんが0個、Cさんが8個貰うとすると次のようになっています。

◯◯||◯◯◯◯◯◯◯◯

つまり10個の◯(りんご)と2本の|合わせて12個をどのように並べるかを考えればよいことがわかります。

これは、12個の空欄のうちどこの2つに|を入れるかを考えればよいので12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めます。

この「仕切りの線」を考える方法は様々な場面で応用できます。

中学入試では、「A、B、Cの3つの箱に10個のボールを入れる入れ方は何通りか」という設定が多いですね。












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2010年03月16日

直感だけに頼ってはいけませんね 2010-03-16




 直感だけに頼ってはいけませんね





 2つのサイコロがあります。これらのサイコロの6つの面は、どちらも次のように色がぬられています。
・赤・・・3つの面
・青・・・2つの面
・黄・・・1つの面
 さて、この2つのサイコロを同時にふって色の組合せを考えたとき、もっとも高い確率で出てくるのはどの色の組合せですか。

 























 ありません。



















 赤と青



 組合せは全部で36通りですから、次のように表にまとめれば簡単です。
それぞれのサイコロには赤が最も多くぬられていますが、組合せにすると赤と青の方が多くなりますね。










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2009年12月15日

正確に場合が分けられますか? 2009-12-15



正確に場合が分けられますか?

 あるクラスで、代表者1人と、書記2人(男子1人、女子1人)を選ぶことになりました。立候補したのは、男子4人と女子3人です。このとき、選び方は全部で何通りありますか。
























 積の法則・和の法則を正しく使い分けます。










 60通り



 代表者を選ぶのは7通り、書記男子を選ぶのは4通り、書記女子を選ぶのは3通りなので、7×4×3=84通りとするのはNGです。
 まず、代表者を1人選んだ段階で、書記になれる男子、女子は4人、3人いません。

 次に、このような誤答です。
 代表者を選ぶのは7通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子も候補を1人減らして2通りなので、7×3×2=42通り。
 代表者を1人だけ選ぶのに、書記の男子、女子ともに1人減ることはありません。

 さらに、次のような誤答も考えられます。
 代表者を選ぶのは7通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子は候補を減らしていないので3通りとなり、7×3×3=63通り。
 これでは、代表者が男子と決められています。よって、代表者を選ぶときに7通りも考えられません。
 また、男子ではなく女子を減らした7×4×2=56通りも、同様な誤りです。

 つまり、代表者を任意の7通りにした場合、それが男子なのか女子なのかで、その後の書記の選び方が変わってきます。

 よって、まず代表者を男子にするか女子にするかで場合を分けて考える必要があるのです。

1)代表者が男子の場合
 代表者(男)を選ぶのは4通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子は候補者を減らしていないので3通りとなり、4×3×3=36通りとなります。
2)代表者が女子の場合
 代表者(女)を選ぶのは3通り、書記男子は候補を減らしていないので4通り、書記女子は候補を1人減らしているので2通りとなり、3×4×2=24通りとなります。
 これより、36+24=60通りとなります。

 ちなみに、男子も女子も選ばれる可能性のある代表者を先に選ぶと、このように場合分けが必要になりますが、以下のように男子、女子が決められている書記から選ぶことで、場合分けは不要になります。
 書記男子を選ぶのは4通り、書記女子を選ぶのは3通り、代表者は候補を2人減らして5通りなので、4×3×5=60通りとなります。

 きちんと場合分けをするか、場合分けのないように工夫するか、これはどちらがよいという訳ではありません。その状況に応じて、処理をしていくことが大切です。
 ※特に、場合分けをしなければ「おかしい」「何か変だ」「気持ち悪い」という感覚をもてるかどうかが重要です。

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2009年05月25日

簡単すぎて間違えること、ありませんか?2009-05-25



簡単すぎて間違えること、ありませんか?

 下の図のように、2g、3g、7gのおもりが1個ずつあります。これらを使って上皿てんびんで色々な物の重さを量るとき、量ることができる重さは何通りありますか。ただし、おもりは左右どちらの皿にものせてもかまいません。


























最大で12gです。



11通り



 まず、単純に1つの皿におもりをのせていくことを考えます。のせた分だけ量ることのできる重さは増えますから、「和」を考えていけばよいのです。
1つ・・・2g、3g、7g
2つ・・・5(2+3)g、9(2+7)g、10(3+7)g
3つ・・・12(2+3+7)g

 次に、これでは作ることのできなかった重さが工夫して作れないか、考えます。

 たとえば、一方の皿に3gのおもりを、もう一方の皿に2gのおもりをのせた場合、このてんびんをつりあわせるために必要な物の重さは3-2=1gとなります。つまり、反対の皿にのせた2gのおもりが、3gのおもりの重さのうち2g分を打ち消してくれているのです。このことから、反対の皿にのせることによっておもりの重さの「差」を考えることができます。

※以下、赤数字は反対の皿にのせて打ち消した重さ
1gを作る・・・3-2=1で可能
4gを作る・・・7-3=4で可能
6gを作る・・・2+7-3=6で可能
8gを作る・・・3+7-2=8で可能
11gを作る・・・不可能

 以上より、11gのみ作ることができないので、全部で11通りとなります。


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2008年11月17日

大問における小設問は、いわば「ヒント」に他なりません。2008-11-17



大問における小設問は、いわば「ヒント」に他なりません。


生物は呼吸をします。



呼吸とは、空気中の酸素と体の中の栄養分を結びつけて、生きるために必要なエネルギーを取り出すことです。

この反応で使われた栄養は二酸化炭素と水になって体の外に放出されます。

呼吸に必要な栄養分(呼吸材料)には、ブドウ糖、脂肪、タンパク質があります。



呼吸材料の種類によって、反応するのに必要な酸素の割合がちがうので、

生物がどの呼吸材料を使って呼吸をしているのかは、

放出された二酸化炭素と吸収した酸素の体積比で調べることができます。この比を呼吸商といい、

以下の計算式で求めることができます。



 ブドウ糖、脂肪、タンパク質がそれぞれ呼吸材料として使われた場合の呼吸商の値を調べると、次のようになることが分かっています。





発芽直後のダイズ種子について呼吸の状態を調べるために、図のような装置を使って実験をしました。


[実験]

 図のように、赤い水滴が同じ位置に入った装置A、Bを用意し、光を当てて3時間おき、ガラス管内の水滴の移動を調べました。なお、装置Bで用いる濃い水酸化ナトリウム水溶液は、空気中の二酸化炭素を吸収するはたらきがあります。


結果]

 装置A:ガラス管内の水滴が、左の方向に4目盛り動いた。

 装置B:ガラス管内の水滴が、左の方向に20目盛り動いた。


このとき、実験に用いた発芽直後のダイズ種子の呼吸商の値を求めなさい。


                                  (栄東 東大選抜)


 























装置A、Bのガラス管内の水滴の移動は、どうして起こったのでしょうか。


0.8


 まず、それぞれの装置で水滴が動いた理由を考えます。


A、Bどちらも水滴が左に動いていることから、フラスコ内の気体の量が減少していることは間違いありません。

発芽したばかりの種子は、激しく呼吸をすることから(これはこの問題の流れから容易に読み取れます)酸素が減少することはわかります。



ここで、装置A、Bのちがいは水酸化ナトリウム水溶液の有無です。


 水酸化ナトリウム水溶液のあるBでは、もともとフラスコ内に二酸化炭素はなく、さらに呼吸によって発生した二酸化炭素も吸収されてしまうため、実験の前後では酸素の量しか変化はありません。



 一方で、装置Aでは呼吸に使われた酸素が減る一方で、発生した二酸化炭素の分気体の量は増えます。つまり、この差の分だけフラスコの体積が減ることになるのです。


 このことから考えれば、装置A、Bでの水滴の動いた目盛りの差は、発生した(呼吸によって放出した)二酸化炭素の量であることがわかります。


 これより、以下のとおり呼吸商が求められます。





[以上、2008栄東・東大選抜より一部抜粋]


 さて、この問題がヒントなしですんなりと解答できたでしょうか。



このやや長いリード文と初めて聞く「呼吸商」という言葉から考えるとこれは難問の部類に入るでしょう。



正しい理論を持って、正答を導くにはかなりの時間を要した受験生が多かったはずです。

何よりも、装置A、Bの違いが二酸化炭素に関係することはわかっても、答えをどのように導き出してよいかわからないためです。



 しかし、実際の入試問題ではこの設問の前に次のような設問が用意されています。


問 装置A、Bのガラス管内の水滴の移動は、それぞれ何の体積が変化したことによるものですか。次のア~キから選び、記号で答えなさい。

 ア 呼吸により生じた二酸化酸素の体積

 イ 呼吸により吸収された酸素の体積

 ウ 呼吸により生じた二酸化炭素の体積と吸収された酸素の体積の差

 工 光合成により生じた酸素の体積

 オ 光合成により吸収された二酸化炭素の体積

 力 光合成により生じた酸素の体積と吸収された二酸化炭素の体積の差

 キ 呼吸および光合成により出入りした酸素の体積と二酸化炭素の体積の差


 まさに、今回「ヒント」として与えた内容です。

これにより、装置A、Bの差異が明確になり、正答までの距離が大きく短縮されます。



ただ「初見問題を解くときは知らないからという理由だけであきらめないという姿勢が大切」というだけでなく、

具体的に身近なところからヒントを探る意識を持ちましょう。


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2008年08月25日

くじ引きは「早いもの勝ち」? 2008-08-25



「早い者勝ち」とは本当でしょうか。

 ある夏祭りで、兄弟である太郎君と次郎君が、くじ引きに挑戦しました。このくじは、全部で10本のうち当たりが2本含まれているくじで、1人1本だけ引くことができます。そこでの2人の会話をもとに、あとの問いに答えなさい。

太郎「次郎、くじ引きやらない?」
次郎「当たりくじ、まだ残ってるかな?」
太郎「まだ誰もこのくじに挑戦してないみたいだぞ。」
次郎「じゃ、僕、先にくじ引いていい?」
太郎「ズルいぞ。オレの方が年上なんだから、オレが先だよ。」
次郎「え~、お兄ちゃんこそズルいよ。じゃ、僕が引いたら、せ~ので一緒に見ようね。」

 さて、先にくじを引く太郎君と、後からくじを引く次郎君ではどちらの方が当たる可能性が高いでしょうか。


先に引けば当たりくじが多い…?



解説参照



 説明のために、10本のくじをA~Jとします(当たりくじはAとB)。
太郎君のくじの引き方10通りそれぞれに対し、次郎君には9通りの引き方があるので、組み合わせは全部で90通りあります。
ここで、太郎君が当たりくじを引いているのは、AまたはBを選んでいる9×2=18通りです。

また、次郎君が当たりくじを引いているのは、以下の通りです。

1)太郎君がAを選んでいる場合…Bの1通り
2)太郎君がBを選んでいる場合…Aの1通り
3)太郎君がC~Jを選んでいる場合…それぞれAかBの2通りずつなので、8×2=16通り

よって、次郎君も18通りあります。全90通りのうち、お互い18通りずつの可能性があるので、2人の当たる可能性は五分であることになります。

まとめ
 くじの本数が何本であれ、当たりくじが何本であれ、この問題の例のように先に引くことによって当たる可能性(確率といいます)が高くなることはありません。

しかし、もしも先に引いた太郎君がくじの当たりかはずれを確認したあとで次郎君がくじを引くならば話は別です。この問題の例でいえば、太郎君が当たりを引く確率は18/90=1/5で変わりませんが、次郎君は次の場合が考えられるのです。

A)太郎君が当たりくじを引いている場合…残りの9本の中で当たりは1本しかありません。つまり確率は1/9で、太郎君よりも損をしています。

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B)太郎君がはずれくじを引いている場合…残りの9本の中で当たりが2本あるので、確率は2/9となり、太郎君よりも得をしています。
 つまり、先にくじを引いた人の結果を聞いた場合では、得するか損するか一か八かの賭けになるわけです。そういう意味では、やはり結果を聞く前の段階ではどちらも損得なしといえませんか?


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