学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

サイコロの塗りわけ【対象学5年生以上】

1から6までの数字がかかれたサイコロがあります。6色の絵の具を使い、隣り合う面が違う色になるように塗り分けます。全部で何通りの塗り方がありますか。6色すべてを使う必要はありません。

使う絵の具の種類によって場合わけしていきます。

4080通り

(i)3色で塗り分ける場合
1と6,2と5,3と4を同じ色にします。
1と6の塗り方は6通り,2と5の塗り方は5通り,3と4の塗り方は4通りなので6×5×4＝120通り

(ii)4色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち2組を選んで2色使います。そして残りの2面に使っていない4色のうちから1色ずつつかいます。
選ばれた2組をAとB,残りの2面をCとDとすると塗り方は6×5×4×3＝360通りです。
AとBの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から2組選ぶので3通りあります。よって4色で塗り分けるのは360×3=1080通り

(iii)5色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち1組を選んで1色使います。そして残りの4面を4色で塗り分けます。
選ばれた1組をA,残りの4面をB,C,D,Eとすると塗り方は6×5×4×3×2=720通りです。
Aの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から1組選ぶので3通りあります。よって5色で塗り分けるのは720×3=2160通り

(iv)6色で塗り分ける場合
6×5×4×3×2×1=720通り

以上より合計4080通り

場合の数に関する基本事項が全て含まれている良問です。
和の法則,積の法則,そして「まず枠組みのパターンを決定して,塗り分けを考える」という手順です。
解答の(i)～(iii)にあるように,まず「どことどこを同じ色にするか」ということが先決です。下の図のような地図の塗り分け問題は見たことがあるのではないでしょうか。

この場合も,まずどことどこを同じ色にするかを決定します。4色で塗り分けるなら、AとEを同じにするかBとCを同じにするかCとEを同じにするかのパターンがありますね。

さらに場合の数の応用として,「回転させて同じになるものは1通りと考える」というものがあります。
本問をサイコロではなく,数字の書いていない立方体と考えて「6色すべてを使って塗り分けるのは何通りか。」を考えてみてください。

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　データの分析【対象学年：5年生以上】





表はある町における男性高齢者人口の比率などを表したものであるが、ア～オのうちこの表から求めることができるものを選びなさい。





ア：1991年度と1992年度の高齢者人口全体の大小
イ：1993年度の男女人口の比率
ウ：1990年度における女性高齢者人口の全人口に対する比率
エ：1990年度の女性高齢者人口に対する1991年度の女性高齢者人口の比率
オ：1992年度の男性高齢者人口と1993年度の男性高齢者人口との差

答えはひとつとは限りません。

ア、ウ、エ

ア～オのうち読み取れるものを選ぶのであるから、ひとつひとつ丁寧に分析していきましょう。

この際、あるデータが何を表したものかを正確に理解し、そのデータを複数組み合わせることで導き出せるものもある点に注意しながら、ア～オのそれぞれがどのような式で求めうるのかを検討していくようにします。

表に与えられているのは

①ある年の男性高齢者：ある年の全人口

②ある年の男性高齢者：ある年の全高齢者人口

③1990年の日本の全人口：ある年の全人口

という3つの割合としての数値です。ここで、全部が割合としての数値である以上、

実数値（たとえば、実際の総人口数など）は求めることはできないことに気付きましょう。

この観点からまず、オは読み取ることは不可能となります。

ここで

②よりある年の全高齢者を100としたときの男性高齢者の割合が出ているため

100からそれを引くことで、

ある年の男性高齢者：ある年の女性高齢者：ある年全高齢者人口・・・④

また

①②より、

ある年の男性高齢者：ある年の全高齢者人口：ある年の全人口・・・⑤

⑤と④と③より

ある年の男性高齢者：ある年の女性高齢者：ある年の全高齢者人口：ある年の全人口：1990年の全人口・・・⑥

も求めることは可能となります。

以下ア～エについて実際に検討しましょう。

ア：1991年度と1992年度の高齢者人口全体の大小

⑥よりある年の全高齢者人口：1990年度の全人口が出せるので求めることは可能です。

実際の操作としては、以下のように求められます。

1990年の全人口が100、1991年が106、1992年が118　ですから

1991年の男性高齢者は106×0.125（12.5％）

1992年の男性高齢者は118×0.163（16.3％）　とあらわせます。

この男性高齢者の数値が、それぞれ高齢者全体の44.9％、49.6％ですから

1991年の高齢者人口：1992年の高齢者人口＝ 106×0.125÷0.449　：　 118×0.163÷0.496　となり、およそ　29.5：38.8となり、1992年のほうが多いことがわかります。

イ： 1993年度の男女人口の比率

①～⑥のいずれにも、男性全体、女性全体を表す事項がないため、求めることは不可能です。

ウ：1990年度における女性高齢者人口の全人口に対する比率

⑥より、　ある年の女性高齢者：ある年の全人口　　は求めることが可能です。

実際の操作としては以下のようになります。

1990年の全人口を100としたとき、男性高齢者は12.5となります。

また1990年の男性高齢者：1990年の女性高齢者＝45.3：100－45.3＝45.3：54.7

よって1990年の女性高齢者：1990年の全人口＝12.5×54.7／45.3　：　100

これを計算すると、およそ15　：100　となります。

エ：1990年度の女性高齢者人口に対する1991年度の女性高齢者人口の比率

⑥より1990年度の女性高齢者人口：1990年の全人口

　　　　1991年度の女性高齢者人口：1990年の全人口

が求められるので、この二つを比べれば、エに関しても求めることができます。

実際の操作としては以下のようになります。

ウで求めたように　 1990年の女性高齢者：1990年の全人口　＝15：100

同様に　　　　　　　　1991年の女性高齢者：1990年の全人口　＝19：100

となるため、

1990年度の女性高齢者人口に対する1991年度の女性高齢者人口の比率

＝15：19　となる。

本問では、このような細かい計算までする必要はありませんが、実際どのような式で求められるかをきちんと考えることは良い学習になるでしょう。

また、ひとつひとつをできるかどうか検討する前に、本解説で述べたように、あらかじめ組み合わせて表せる比などを求めておくと、その後の処理が楽になり、二度手間を省くことにもつながります。

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　ベン図を利用しよう【対象学年：4年生以上】





つぎのＡ～Ｃの条件があるとき、確実にいえることを１～５の中から選び、記号で答えなさい。



Ａ：バーベキューが好きな人は、キャンプが好きであり、かつドライブが好きである。

Ｂ：トライアスロンが好きでない人は、登山が好きでない。

Ｃ：ドライブが好きな人は、登山が好きである。



１　トライアスロンが好きな人は、ドライブが好きである。

２　キャンプが好きな人は、登山が好きではない。

３　バーベキューが好きな人は、トライアスロンが好きである。

４　ドライブが好きでない人は、登山が好きではない。

５　キャンプが好きな人は、バーベキューが好きである。

ベン図を書いてみよう。

３

Ｂはほかと比べにくい表現なので、対偶を用いて表現をそろえてやるとわかりやすくなります。

Ｂは「登山が好きな人は、トライアスロンが好きである」となりますね。



ここでそれぞれをベン図で表すと、

Ａは




Bは




Cは




これをあわせると




となります。
よって、正解は３だとわかりますね。

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　顕微鏡の注意点【対象学年：4年生以上】





　大きさが１mm程度のミジンコを観察するために、学校のクリーンルーム（ちりやほこりがない部屋）で顕微鏡を使うことになりました。このときの顕微鏡の使い方について、誤っているものを１つ選びなさい。

　ア．まず対物レンズをとりつけた後に、接眼レンズをとりつける。

　イ．まず高倍率で見た後、全体を見るために低倍率にする。

　ウ．ピントを合わせるときは、接眼レンズをのぞきながらステージを下げていく。

　エ．プレパラートをステージに乗せる前に、反射鏡で視野の明るさを調節しておく。

ありません。

イ

　顕微鏡の使い方は、中学・高校入試ともに頻出です。きちんと整理しておきましょう。

　まず、４つの選択肢の中には、２つ誤りがあります。

　ア→対物レンズを先にとりつけてしまうと、接眼レンズをとりつける間にほこりが入ってしまいます。小さな小さなほこりではありますが、顕微鏡で拡大されてしまうことで視野の大部分を妨げらてしまいます。正確には、接眼レンズを取り付けたあとで対物レンズを取り付けます。

　イ→先に高倍率で見ることは極めて難しいです。倍率が高い分視野が狭くなりますから、覗いた視野の中に対象物がないことが多いからです。そこでプレパラートを動かして調節しようとしても、微々たる動きが拡大された視野の中では大きな動きとなりますので、なかなか対象物が見られません。むしろ、低倍率で広い視野のもと対象物を中央に持ってきて、その上で適する高倍率にするのが正しい操作となります。



　さて、本問ですが、よく問題文を見ると「クリーンルームで」とあります。これにより、アの選択肢の誤りを考慮する必要がありませんから、答えはイとなります。

　とりわけ中学入試では、顕微鏡で観察する際に、１つ１つの操作を順に並び替えさせる問題をよく見ます。

　「２８０倍で観察したい」という問題に対し、選択肢に「７０倍で観察する」とあっても無視されがちですが、まずその操作によって対象物を視野の中央にもってくるという大切な操作なのです。すべての操作に意味・理由があることに注意しましょう。それが理科という科目ですね。

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　ダイヤグラムの利用【対象学年：５年生以上（６年生以上推奨）】





　下のグラフは、Ａさんが７時３０分に家を出て、Ｂさんの家に行き、そこで４分間休んでからＢさんといっしょに学校へ行くときの時刻と道のりの関係を表しています。また、このグラフの中には、Ａさんのお姉さんが自転車で２人を追いかけ、７時５８分に追い越して８時ちょうどに学校についたようすも描かれています。これから、ＡさんとＢさんは何時何分に学校に着いたことがわかりますか。

　速さと道のりに関して何も与えられていないので、比を利用するしかありません。

　８時６分

　ＡさんとＢさんが４分休まなかったすれば、ずっと一定の速さでＡさんの家から学校まで行ったことになります。よって、Ｂさんの家で４分休むのではなく、Ａさんのスタートが４分遅れた（つまりＢさんとＢさんの家の前で会い、休むことなく学校まで行く）図を書きこんでみると、下のようになります。これより、Ａさんの家からＡさんのお姉さんと出会った位置までに、ＡさんとＢさんは２４分かかり、Ａさんのお姉さんは６分かかったことがわかります。

　同じ道のりを進むのに、ＡさんとＢさんは４倍の時間がかかるわけですから、Ａさんのお姉さんが学校に着くまでに８分かかっているので、ＡさんとＢさんは３２分かかっています。

　よって、７時３４分＋３２分＝８時６分とわかります。

　また、ダイヤグラムで重宝される「三角形の相似（ピラミッド・クロス）」を利用しても回答可能です。

　下の図から、青いピラミッドに注目して赤いクロスの相似比が３：１とわかるので、８時から６分進めればよいことがわかります。

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　凹面鏡のうつりかた【対象学年：5年生以上】





下図のような物体を凹面鏡(スプーンのような鏡)に接した状態からだんだん遠ざけていきます。
そのとき映る像はどのようになるでしょうか。ただし物体とそれを見る人の目の位置は同じ(物体の移動とともに目の位置も移動する)ものとします。

　
ア　上下左右そのままの像ができる
イ　左右のみ逆の像ができる
ウ　上下のみ逆の像ができる
エ　上下左右逆の像ができる
オ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
カ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
キ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
ク　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ケ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
コ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
サ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
シ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
ス　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
セ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ソ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
タ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる

　知らないと思った問題でも、基本的なこと(この場合は光の反射のしかた)からしっかり考えていくことで妥当な結論を導くことができます。
光の問題ではとにかく作図をしてみることが大切です。

シ

まず上下方向の光の進路を作図してみましょう。
入射角と反射角が等しくなるように反射させた図を描けばいいですね。
同様に左右方向の光の進路も作図します。(下図1.2)

すると、図１については、ｃの点線より内側(ｄ)に物体がある場合、上下の向きは変わらず(図3)、ｃの位置より外側(a.b)では、上下が反対になることが分かります(図4)。

左右も同様に、ｃより内側(ｄ)に物体がある場合、像の左右は逆になり(図5)、外側(a.b)の場合、もとに戻ることになります。
しかし上下も逆転しているため、左右も逆転した像になりますね(図6)。(右手側である◎が左手側にあるようにうつる)

よって点ｃより内側に物体がある場合、上下はそのまま、左右は逆の像ができ、ｃより外側に物体がある場合、上下左右ともに逆の像ができることになります。ちなみにこの点ｃを凹面鏡の焦点といいます。

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　ひっかかりやすい積み木の個数【対象学年：４年生以上】





　下の図１は、小さな立方体をいくつか使ってつくった立体を、正面、上、右からそれぞれ見た図です。この場合、最も少なくて６個、最も多くて８個の立方体で作ることができます。
　では、図２のように見えるようにするには、最も少なくて何個の立方体が必要ですか。

　上から見た９か所すべてに立方体は必要でしょうか？

　１１個

　まず、図１が６個～８個でできることを考えてみましょう。
上から見た図の中に、正面、右から見た（積み上がった最大の）立方体の情報を書き込んでみると、次の図のようになります。

　さて、図２の場合を考えてみます。同じように、上から見た図の中に情報を書きこむと次のようになります。説明のために、ア～ケと名前をつけておきます。

　まず、１個しか積み上がって見えない「イ・オ・ク・エ・カ」は１個と考えられます。また、最大である３個積み上がっている場所はできるだけ少ない方がよいわけですから、「キ」が３個と考えられます。同様に、２個積み上がっている場所もできるだけ少ない方がよいわけですから、「ウ」が２個と考えれらます。
残った「ア・ケ」はあればよいわけですから、１個と考えられます。以上より、全部で１２個となります。

　しかし、実はこれは最小の個数ではありません。図のオをつくる４辺は、まわりに立方体がありさえすれば存在しますから、実はオは０個で構いません（オ意外の場所は、まわりに囲まれているわけではないので、そこに立方体がないと４辺ができあがらないため、１個以上必要になります）。
以上より、本当の最小の個数は１１個となります。

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　方角の思い込みには注意しましょう【対象学年：４年生以上】





　下の図１は、ある日の夜に見えた北極星と北斗七星を表したものです。
このとき、星座早見で北の空を観察すると、北斗七星はどの位置にありますか。
図２のア～エから選びなさい。

方角がポイントです。

　イ

　まず、図１から北斗七星は真北を向いた左手側、すなわち北西にあることがわかります。
　また、星座早見の窓は地平線を表しており、ア～エにあらわれている星がその時に夜空に見える星です。北極星の位置から考えて、上が北、下が南になりますが、星座早見は見上げて使うために東西があらかじめ逆に示されているので右が西、左が東となっています。よって、北西にあたるのはイとなります。

　つまり、次の図のようになっているのです。

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　微生物の動きには意外な秘密があります。





　下の図は、両性プランクトンであるミドリムシです。このミドリムシは、葉緑体をもち光合成をすることができ、べん毛とよばれるつくりで自ら動くこともできます。このミドリムシは、どちら向きに動きますか。図のア～エから選びなさい。

　ありません。

　ア

　べん毛を尾のように使ってウの方向へ進むと思われがちですが、実はちがいます。図で赤く示した部分がミドリムシの「目」にあたるので、進む方向はアなのです。

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　すき間。





　次の図のように、高さがすべて20ｍで間に幅１ｍの道があるビルが４つあります。
この４つのビルを合わせた体積は、何立方メートルになりますか。

　底面積を正しく求めましょう。

　3020立方ｍ

　一見、底面積が10ｍ×16ｍの長方形になるように見えますが、実際に合わせてみると下の図のようにすき間ができます。
これより、底面積は10ｍ×16ｍ－９ｍ×１ｍ＝151平方ｍとなるので、求める体積は151平方ｍ×20ｍ＝3020立方ｍとなります。

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