学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

H23年度　麻布中抜粋　【対象学年：5年生以上】



佐藤君と山田君がＡ地点からＢ地点に行くことになり、まず佐藤君がＡを出発し、次に午前10時に山田君が出発しました。それぞれ一定の速さで歩いていき、２人とも正午にＢにつく予定でした。しかし山田君は途中のＣ地点から自転車に乗り、進む速さを３倍にしたため、自転車に乗ってから４分後に佐藤君をＥ地点で追い越しました。そして佐藤君が正午にＢ地点に着いたときには、山田君はＢ地点からさらにＡＢ間と同じ距離にあるＤ地点まで進んでいました。

ＡＣの距離とＣＢの距離の比、ＣＥの距離とＥＢの距離の比をそれぞれ求めなさい。ただし、できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。


















速さと比の問題では、時間・距離どちらかがそろっている部分を見つける意識が大切です。



























ＡＣ：ＣＢ=１：１　ＣＥ：ＥＢ=１：４

一見複雑な問題ですが、まずは分かる範囲で状況を線分図で表しましょう。



そして、ここから、距離やかかった時間が同じ部分を見つけます。速さと比の問題では、いかに距離や時間をそろえられるかがポイントです。距離の比を求める際には時間をそろえられないか、時間の比を求める際には距離をそろえられないか、と考えていきます。

この問題では、距離の比が問われているので、時間がそろっている部分がないかをさがします。

すると、山田君は本来12時にＢ地点に着く予定だったので、山田くんがC地点からＢ地点まで歩いたとしたときの時間と、C地点からD地点まで自転車で行ったときの時間が等しいことがわかります。山田君の歩く速さと自転車の速さは
１：３ですから、CB：BD=１：３　になります。（BDに注目すると□と○の関係がわかります・下図）

比をそろえると下図のようになります。よってＡC：CB=１：１です。

さて、次にCE：EBを求めます。これも距離の比を求める問題なので、時間の関係が分かる部分はないかと探っていきます。

今、ＡC：CB=１：１とわかったことで、佐藤君がAからBまで歩いて２時間でいくことから、CからBまでは１時間で行くことがわかります。また、佐藤君の　歩きの速さ：自転車の速さ=１：３　ですから

CE：CB=③（自転車の速さ）×４分：①（歩きの速さ）×60分=１：５　となります。
よってCE：EB=１：４　とわかります（下図）。　　

実際の入試でこういった問題が出題されると、できそうなのに、気づかないで焦ってしまうことが多いからこそ、「速さと比」の問題が合否を分けることもままあります。日頃から、「距離が問われているから、時間が同じところをさがそう」といった「～を求めたいのだから、どこがわかればいい」という逆算的な考えで論理的に考えるようにしたいですね。

小問の誘導と対称性の利用(３年生以上)

1辺１ｃｍのサイコロを右図の１辺1ｃｍの正方形が１２個ならべられた台紙(下図)のうえを
すべて１回ずつ通るように移動させます。

(１)図の左下(頂点Dをもつ正方形)から始めた場合、転がし方は何通りありますか。
(２)スタートする正方形を自由に選ぶとき、何通りの転がし方がありますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2011開智中先端A入試改題

(１)は自分なりの基準を作って実際にやってみましょう。
(２)(１)の結果を利用できる方法はないか考えてみましょう。



























(１)6通り
(2)64通り

(1)何回か実際に転がしてみましょう。そうすると、横に2マス以上転がしたあと、段をかえてしまうと空白ができてしまうことに気付きます(たとえば下図)。

よって段を変える前に、それより左側のマスをすべて通っておく必要があるため、どこのポイントで横にまっすぐ進むかを基準にルートをえらべばよいことになります。そうすると、以下の6通りの通り方が考えられます。

(２)スタートの正方形をどこでも選んでよいので、一見とても大変な問題に見えるかもしれません。しかし、４角はひっくり返したり、裏返したりすれば、(１)とまったく同じ状況になる(下図a
☓部分は結局６通りずつである)とわかれば、処理の手間がかなり減ります。

同様に、上図の◯の部分、△の部分も、すべて同じ数ずつ通り方があることになります。

つまり◯からスタートする場合と△からスタートする場合を1つずつ調べてそれを４倍すればいいわけです。

(ⅰ)◯からスタートする場合

最初に上に進んでしまうと、(1)のときと同様、通れないマスができてしまいますから、最初に◯より左側、または右側をすべてうめておかなければいけません。
どちらかをうめたあとは(１)と同様、横にまっすぐ進む前に、その後ろ側をすべてうめておかなければなりませんね。よって最初に左側をうめる場合が４通り、右側をうめる場合が１通りで、合わせて5通りの通り道があります。

(ⅱ)△からスタートする場合も(ⅰ)の場合と同様のルールで数えましょう。

この場合、最初に左側に行く場合に3通り、右側に行く場合に2通りの合わせて5通りの通り道があります。

以上より、図aの☓部分からのスタートが６通り、◯部分・△部分からのスタートがそれぞれ5通りあるので、全部で

(6＋５＋5)×４＝64　通り　の通り道があることになります。

このように、複雑に見える問題でも、まず手を動かしてルールや基準を発見すれば、正確に数えることができます。そしてそれをうまく使って、より複雑な問題を解けないか、と考える姿勢を持ちましょう。対象学年は３年生以上としましたが、特別な知識も不要な問題という点では、もっと低学年の人でもできる問題ですね。

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干潟の鳥の特徴 【対象学年：３年生以上】

　海辺では，１日のうちで海水面が最も上がる満潮と，最も下がる干潮が繰り返し起こります。特に河口のそばでは遠浅の地形になっていることが多く，満潮のときには海水におおわれ，干潮のときには泥や砂でできた，なだらかな陸地があらわれます。この陸地を干潟と呼びます。干潟には，カニや貝など多くの小さな生き物たちがすみ，そこへ様々な鳥たちがえさを求めて集まります。

　下の（ア）～（オ）の鳥の中で、この干潟に多く見られるはどれでしょうか。１つ選び記号で答えなさい。

　ありません。



























　(エ)

干潟は泥や砂でできているとあります。とすると羽に泥などがかからない、足の長い鳥が適しているといえます。
また鳥たちがカニや貝などを泥や砂の中からくちばしでとることから、くちばしが長い鳥が適しているといえます。
以上から正解は(エ)となります。

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規則性の発見と誘導の利用　【対象学年：4年生以上】



１、２、３、・・・と番号がかいてあるカードが、上から番号の小さい順に重ねてあります。『一番上のカードを捨てて、その次に一番上になったカードを残りのカードの一番下に入れる』という操作を繰り返すとする。次の問いに答えなさい。

（１）カードの枚数が32枚の時、最後まで残るカードの番号はいくつですか。

（２）カードの枚数が1100枚の時、最後まで残るカードの番号はいくつですか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（慶応義塾湘南藤沢中・改題）

（２）に関しては、（１）をうまく利用できないかどうか考えてみましょう。



























（1）　３２　　（２）152

（１）操作の手順にしたがってやってみましょう。
　　（1.2.3.4.・・・29.30.31.32）と並んでいる中で、１が取られて、２がうしろに、３が取られて４がうしろに・・・となるので、カードが一周したときを考えると、偶数が１６枚残ります。

　　次に、（2.4.6.8.・・・26.28.30.32）と並んでいる中から、２が取られて４がうしろに、６が取られて８がうしろに・・・となるので、再度カードが一周したとき　　を考えると、 ４の倍数が８枚残ります。

　　よってこの時点で（4.8.12.16.20.24.28.32）が残っています。
　　ですから、同様の操作を繰り返すと（8.16.24.32）→（16.32）→32となり、最後に32が残りますね。

（２）（1）より、32枚の時には、32が残ります。
　　では、64枚（32×2）のときを考えてみましょう。64枚のカードをこの操作で一周させたときには（2.4.6.・・・60.62.64）の３２枚のカードが残ります。
　　ここで、32枚のカードがある時には、その最後の1枚が残るわけですから、64が残る、すなわち64枚のカードがある時には64が最後に残ることにな　　ります。

　　同様に、128枚、256枚、512枚、1024枚の時にも、それぞれその最後の数字のカードが残ることがわかります。
　　
　　よって1100枚から76枚取り除き、残りが1024枚になったときに、最後にある数字が求める答えとなります。
　　76枚取り除いたときに、いちばんうしろに来る数字は76×2＝152ですから、152が最後に残る数字となります。

　　　もちろん、この問題を書き出しによって求めることも可能ですが、（1）で少ない数での実験をやらせた後に、法則を発見させ、（２）でそれを使って考えさせるという問題は数多く出てきます。何とか（1）をうまく使えるような法則がないかどうか、考えてみることが大切です。

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　範囲を意識する問題 H14市川中学校第1回より【対象学年：5年生以上】





長方形の土地ABCDの周の上を歩きながらヒマワリとアサガオの種を植えます。Aから時計まわりに３m歩くごとに、ヒマワリの種を全部で９粒植えました。また、Aから反時計まわりに２m歩くごとに、アサガオの種を１粒ずつ全部で20粒植えました。どちらの種も、ひとまわりしないうちになくなりました。何日かたってみると、Cからはヒマワリとアサガオの両方が生えていました。この土地の周の長さは何mですか。

図にヒマワリとアサガオを書いていってみると何かに気づけるかも。
やっぱり地道に手を動かしてみることが大切です。

48m

３ｍずつ植えて、１周の半分であるC地点に植える。２ｍずつ植えて１周の半分であるC地点に植える。ということは、C地点はA地点から３ｍと２ｍの公倍数分、離れているということになります。

また、A地点からヒマワリを９粒植えたとき３×９＝27(ｍ)分植えたことになります。もし、A地点からC地点までが27ｍ以上離れていたらC地点に種が植えられません。よって、C地点までは３×９＝27(ｍ)以下となります。

次にアサガオを考えてみましょう。

すると、A地点から２×20＝40(ｍ)歩いても1周しないことが分かります。よって、1周は40ｍ以上になります。A地点からC地点までは1周の半分になるので40÷２＝20(ｍ)以上でなければいけません。
以上の範囲を考えると、A地点からC地点までは、20ｍ以上27ｍ以下であり、なおかつ３ｍと２ｍの公倍数であることになります。その条件を満たす数字は、24ｍのみとなります。半周が24ｍとなるので、1周は24×２＝48(ｍ)となります。



複雑に感じることも、実際に図を書いて手を動かすことで範囲が意識できます。

解説を読んだあとに図を書き手を動かしてみると単純だったことに改めて気づけるはず。

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　条件を絞り込む【対象学年：5年生以上】





次の会話は、春子さんと秋夫くんが数あてクイズをしている様子です。その数の約数は２つだけですか。



春子　その数の約数は２つだけですか。

秋夫　はい

春子　その数を５倍すると100より大きい数になりますか。

秋夫　はい

春子　その数を２回かけたら900より大きい数になりますか。

秋夫　いいえ

春子　その数は（　　ア　　）よりも大きいですか。

秋夫　はい

春子　その数は（　　イ　　）ですか。

秋夫　はい





（１）　（　　イ　　）にあてはまる数がただ１つになるような（　　ア　　）にあてはまる数のうち５の倍数を答えなさい。





（２）　（　　イ　　）にあてはまる数を答えなさい。





（平成16年頌栄女子学院中・第２回）

約数２つ　＝　素数

ある数　×　５　＝　100より大きい

ある数　×　ある数　＝　900より小さい



この条件を満たす数はかなり絞られますね。

　（１）25　　　（２）29

（１）

約数が２つあるということは、ある数は素数ということになります。また、ある数×５＝100より大きいということから、ある数は20より大きい数とわかります。次に、ある数×ある数＝900より小さいということから、ある数は30より小さい数とわかります。

以上の条件で数を並べてみると

21　22　23　24　25　26　27　28　29

これらの中で23と29の２つの数が残ります。

この２つの数をどちらが１つに絞り込むために５の倍数で比較するので25を基準にして比較することになります。よって、答えは25となります。



（２）

（１）より、ある数は25より大きいということがわかります。23と29の中で25より大きい数は29しかありません。よって、答えは29と決まります。





ポイント

条件を絞り込む際に、数をどこまで絞り込んだのか、絞り込んだ数をどの切り口で絞り込んでいくかが重要です。今回は、かなり細かい誘導がありましたが春子さんの質問の虫食いがより多かったときに春子さんの絞り込みの考え方ができたかどうか試してみるのも良いでしょう。

絞り込みのポイントは大きい切り口から細かい切り口へ絞り込んでいくことです。

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　リード文の分析【対象学年：4年生以上】





水素を燃やすと水が、炭素を燃やすと二酸化炭素が、メタンガスを燃やすと水と二酸化炭素ができます。

このような物質の変化を化学変化といいますが、どうしてこのようなことが起こるのか、昔から多数の科学者によって研究されてきました。

そして現在では、物質は原子と呼ばれる小さな粒からできていて、すべての物質は原子がいくつか集まってできているということと、化学変化はその組み合わせが変わることだとわかっています。

そしてそのときは、組み合わせのみが変わるだけなので、化学変化の前後での原子の総数は変わりませんし、それぞれの原子の重さが化学変化によって変わることもありません。

たとえば水素の粒(水素分子という)は水素の原子２個から、酸素の粒(酸素分子)は酸素原子２個から、水の粒(水分子)は水素原子２個と酸素原子１個からできているので，水素を燃やして水ができる化学変化を図１で説明すると次のようになり，水素分子２個と酸素分子１個とから水分子が２個できることがわかります｡

また、炭素の粒１個と反応する酸素ガスの粒は１個で，反応のようすは図２のようになります。

ただし，以下の図では次のような記号を使います。また原子１個は本来とても小さくて軽いものですが、扱いやすいように、水素原子1個の重さを1ｇ、酸素原子１個の重さを16g、炭素原子１個の重さを12gとします。　　(頌栄女子学院・改題)

問　メタンガスが燃えるときのようすについて答えなさい。

　　(1)　メタンガスの粒１個が燃えるときの反応のようすを図１，図２にならって書きなさい。

ただし，メタンガスの粒１個は炭素原子１個と水素原子４個とからできていて，図３のように表すものとします。

　　(2)　64gのメタンガスを燃やすために必要な空気は何ｇですか。

ただし，空気の重さのうち20％が酸素であるとして考えなさい。

　リード文と与えられた図から、物が燃えるときのルールを考えましょう。

(1)


（2） 1280ｇ

（1）まず、リード文と図をよく読みながら、ものが燃えるときの法則を考えます。



すると、ものが燃えるときには

「2個の原子からなる酸素の粒が、ある物質と組み合わさって、水や二酸化炭素となる･･･(ア)」

そのとき

「反応の前後でそれぞれの原子の粒の数は変わらない･･･(イ)」

ことがわかります。



よって(1)の問題については







という式のA～Dの部分の数を調整すればいいことが分かります。



ここで、→の左側には炭素原子が1つ、右側にも炭素原子が1つですから、AとCが1であるとしましょう。

Aが1だとすると→の左側には水素原子が4個あるので、右側にも水素原子が4個必要です。

よって水の部分のDは2となりそうです。



ここまでを整理すると







となります。

→の右側には、酸素原子の粒が4個なので、Bを2とすれば、→左側の酸素原子も4個となり、→の前後で原子の数が

そろうので、これが解答となります。







(2)(1)で作った図式に実際の数字を当てはめてみると。







となります。→の前後で重さが変わっていないことが確かめられました。

さて、メタンガスは64ｇですから、上の図式が4つ分あることがわかります。

よって必要な酸素の重さは



64×4＝256ｇ



ですね。酸素の重さは空気の20％ですから、求める空気の重さは



256ｇ÷0.2＝1280ｇ　となります。





知っている大人にとっては何の変哲もない化学式の問題ですが、それを知らないお子様にとって、入試でこの問題をみたら面食らうかもしれません。そういうときこそ慌てずにリード文や図をしっかり読み、情報を整理していくことが必要です。読解力と現場での思考力・作業する力が要求されますが、しっかりそれができれば、4年生でも(％の概念を知っていれば)きちんと正解にたどりつける良問です。

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　隠れた制限を考えます【対象学年：5年生以上】





　全体の人数が100人以上、200人未満の学校があります。

この学校の生徒を通学地域別のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの5つのグループに分けたら、次のようになりました。

（1）Ａの人数はＢの人数の1.2倍

（２）Ｃの人数はＢの人数の1.4倍より3人少ない

（３）Ｄの人数はＣの人数より5人少ない

（４）Ｅの人数はＡの人数より1人多い

条件を満たすＢの人数は何通り考えられますか。

（芝中）

　分数で考えてみましょう。

（1）より

Ａ対Ｂ＝1.2:1＝6:5

よって、Ａの人数は6の倍数、Ｂの人数は5の倍数となる。

（2）より

Ｂ：Ｃ+3＝1:1.4＝5:7

Bをとすると、Ａは、Ｃは-3人、Ｄは-3人、Ｅは+1人

合計は－10人

よってが110人以上210人未満となる。

これを満たすは4人、5人、6人の3通り。

よってＢの人数も20人、25人、30人の3通り。

問題文に明記されていないのですが、この問題を解く上で最も重要な条件は

人数は整数

ということです。

Ａ＝Ｂ×1.2ですから、Ｂは5の倍数でないとＡは整数になりません。分数で考えれば、Ａ＝Ｂ×6/5ですからより気づきやすいことでしょう。

本問の「整数制限」など、当たり前なので明記されていない「隠れた制限」には様々なものがありますが、普段気づかなくても「ミス」で片付けてしまいがちです。問題では解答のための鍵になることが多いのできちんと整理してチェックリストを頭の中に作っておくことが大切です。

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　［社会］平成15年麻布中学入試問題【対象学年：4年生以上】





＜本文省略＞

問
　人類の重要な発明品に道具と機械があります。これまで取り上げてきた自転車は、人類が発明したもっともすばらしい道具のひとつであるといわれています。

(1)　では、人類で発明した最初の道具は、何だったでしょうか。

(2)　自転車が道具であるとして、道具と機械のちがいについて考え、道具とはどのような性格のものか説明しなさい。

（平成15年麻布中学校入試問題＊社会 問１１）。

　ありません。

　（1）　石器

　（2）　「道具とは、機械が動力で動かすものに対して、人間の力で動かすものという性格のものである。」

(1)は、単純知識ですね。石器でいいでしょう。

(2)が麻布ですね。
まず道具と機械を具体的にくらべるとわかりやすくなります。
道具の代表として自転車があがっています。機械の代表は自動車としましょうか。
自転車とオートバイはどこがちがうのだろうと考えてみるのです。

自転車は、自分でこいで動かす。
オートバイは、エンジンで動かす。
ここまでは、いけると思います。あとは、これを抽象化してあげればいいだけですね。

道具は、人間の力で動かすもの。
機械は、動力で動かすもの。
あとは、くっつけるだけです。

「道具とは、機械が動力で動かすものに対して、人間の力で動かすものという性格のものである。」

具体化、抽象化のトレーニングは、日常生活でも十分できます。簡単なものからはじめてみましょう。

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