学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

「固定」の威力を感じてください。

　長さ３㎝の棒ア、イと長さ４㎝の棒ウがつながってできたものを机の上におきます。図１は、これを真上から見たものです。また、棒どうしは図２や図３のように、連結部分Ａ、Ｂで折り曲げることができますが、棒と棒の間の角度を90度より小さくすることはできません。
　棒のはしを下の図１のようにＸ、Ｙとし、棒アのみを机の上に固定したとき、棒ウの先Ｙの動くことのできる部分の面積を求めなさい。ただし、棒の太さや連結部分のすき間を考えないものとします。

とりあえず、点Ｙの動く範囲を図示しなければ始まりません。

37.68（平方cm）

　まず、対称性を利用すれば、下側に曲げた場合のみを考え、その面積を２倍することでもとめる面積がわかります。ここで、棒イを固定して棒ウを動かすと、点Ｙは下の図Ⅰのような四分円の弧ＹＹ’を描きます。そして、棒イを回転させることで、図ⅡのようにＹとＹ’の行き先がわかります。よって、点Ｙの動くことのできる範囲は、下の図Ⅲのようになります。

　実際、面積を求めにいくときには、この複雑な図形がどのような簡易な図形（三角形やおうぎ形など）が組み合わされてできているのかを考えていきます。
　ここで、下の図Ⅳのように点Ｙ’が動いて描いた弧ＹＹ’は点Ａを中心とした四分円の弧なので、半径はＡＹ’となります。三角形ＡＢＹ’はＡＢ＝３㎝、ＢＹ’＝４㎝の直角三角形なので、ＡＹ’＝５㎝です。

　これより、求める面積は、以下のようにして求められます。

　よって、（７×７－５×５）×3.14÷４＝６×3.14となり、
　対称性から、６×3.14×２＝12×3.14＝37.68（平方cm）とわかります。

　このように、変化するものが２つ以上ある「複雑な動き」を考える場合、闇雲に動かす（試す）だけではなかなか正確に全体像をつかむことができません。場合の数などと同様に、１つを固定して考えるだけで、一気にわかりやすくなることは少なくありません。

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今週は、シンプルな一問です。

密閉した容器の中に、重さ60ｇの鳥を入れて台はかりに乗せたところ、鳥が止まり木に止まっているときは台はかりが300ｇを示していました。下の図のように、鳥が容器の中で羽ばたいて宙に浮いているとき、台はかりは何ｇを示しますか。

ありません。

300g

　単純な話です。鳥は60ｇの自分の体を浮かせるために、翼を使って60ｇの下向きの力を生み出さなければなりません。つまり、「密閉された容器の中で生まれた空気の流れによる下向きの60ｇの力」が、鳥の体のかわりに台はかりを押すことになるので、台はかりが示す値はかわりません。
　もちろん、鳥が止まり木に止まっていようが、飛んでいようが、止まり木からおりて容器に直接乗っていようが、台はかりの示す値はかわりません。

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データは、何となくではなく目的意識をもって見ると色々なことに気づけます。

あるこん虫Ｘを、たて、よこ１ｍの正方形の形をした箱に入れ、その中で産まれた卵の数を調べる実験を行いました。

下の表は、そのときの箱に入れた成虫の数と、産まれた卵の数を表したものです。
ただし、どの箱もオスとメスの数はすべて同じで、産まれた卵もすべてオスとメスが同数であると考えてよいものとします。

(1)表のアにあてはまる数はいくつですか。

この実験で、最初に箱に入れた成虫を第１世代とよぶことにすると、
これらの成虫が産んだ卵 （第２世代）が成長し、
成虫になって産んだ卵は第３世代となります。

このようにして、世代に 順番をつけてよぶことにします。
また、１つの世代は、次の世代が成虫になるまでに一生を終えてしまいます。

(2) はじめに箱に入れた成虫が100匹のとき、
第４世代として生まれてくる卵は何個と考えられますか。
ただし、産まれた卵は死ぬことなく、すべて成虫まで成長し、
産卵すると考えてよいものとします。

(3) この実験で使った箱を、たて、よこ２ｍの正方形の箱に変えた場合、
はじめに200匹の成虫を入れると、第４世代として産まれてくる卵は
何個になると考えられますか。ただし、産まれた卵は死ぬことなく、
すべて成虫まで成長し、産卵すると考えてよいものとします。

もしも、箱に１億匹の成虫を入れたらどうなるでしょう？

(1) 300
(2) 800
(3) 2400

(1) 箱の大きさが決まっている以上、箱の中のあるこん虫の数には限りがあります。
そこに注目して表を見てみると、成虫の数が200匹以降では「成虫の数＋卵の数＝1100」で一定になっています。
よって、ア＝1100－800＝300とわかります。

(2) はじめ、100匹であれば、表から第２世代が800匹とわかります。
第２世代が成虫になると、第３世代は1100－800＝300匹、
これらが成虫になると第４世代は1100－300＝800匹となります。

(3) たて、よこが２ｍになれば、面積は最初の実験の箱の４倍になります。
よって、右の図のように、４つの部分に分けて考えれば、
ばじめの実験の結果がそれぞれＡ～Ｄの部分で表の結果が利用できます。
200匹の成虫をこの箱に入れると、４つそれぞれの部分には50匹ずつと考えることができます。
ここで、Ａの部分に注目すれば第４世代まで50匹→600匹→500匹→600匹とわかるので、
第４世代はＡ～Ｄ全部で600匹×４＝2400匹とわかります。

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シャドーの威力を感じてください。　

　学校から800ｍはなれたところに図書館があります。太郎君は分速100ｍ、次郎君は分速80ｍで学校から図書館へ、花子さんは分速70ｍで図書館から学校へ同時に出発します。花子さんが太郎君と次郎君のちょうど真ん中にくるのは、出発してから何分後ですか。

ありません。

５分後

まず、３人とも同じ時間動いていることから、

条件を満たすまでに動いた道のりの比は、太郎：次郎：花子＝：：となります。

ここで、下の図のように動きを表してみると、

学校と図書館との間の道のりは（ －）÷＋＋＝と表せます。



これが800ｍであることから、太郎君の進んだ道のりは800×（／）＝500ｍとわかります。

よって、求める時間は500÷100＝５分となります。



　さて、ここでちょっと違った見方でこの問題を解いてみます。

花子さんは、太郎君と次郎君の真ん中まで行くことになるので、「常に太郎君と次郎君の真ん中を進む、架空のミスターＸ」がいると考えれば、ただのＸと花子さんの出会いの問題になります。

このとき、Ｘの速さは太郎君と次郎君のちょうど平均になるので、分速90ｍとなります。よって、800÷（90＋70）＝５分後と求められます。

　このように、条件を満たすための特別な動きをする架空のもの（者、物）は、受験界で「シャドー」と呼ばれ、特に速さの問題で威力を発揮します。

時計算、動点問題、仕事算など、速さに関わる問題で応用がきくので、ぜひいろいろと試してみてください。

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「質量保存の法則」は、化学系計算問題に欠かせません。　

石灰石の主な成分は炭酸カルシウムとよばれる物質です。この炭酸カルシウム５ｇを強く熱すると、合計で2.2ｇの二酸化炭素が発生し、あとに2.8ｇの物質が残ることがわかっています。

　いま、重さや炭酸カルシウムの含まれる割合が異なるＡ～Ｄの４つの石灰石を強く熱して二酸化炭素を完全に発生させ、あとに残った物質の重さをはかると、下の表のようになりました。

(1) 炭酸カルシウムの割合が最も多いのはどの石灰石ですか。Ａ～Ｄから選び、記号で答えなさい。
(2) (1)で答えた石灰石に含まれる炭酸カルシウムの割合は何％ですか。割り切れない場合は、四捨五入をして整数で答えなさい。

加熱によって重さが軽くなる理由を考えましょう。

(1) Ｃ
(2) 85％

問題文中の「炭酸カルシウム５ｇを強く熱すると、合計で2.2ｇの二酸化炭素が発生し、あとに2.8ｇの物質が残る」ことに注目すると、反応の前後で全体の重さが変化していません。

これより、発生した二酸化炭素の分だけ重さが軽くなることがわかるので、Ａ～Ｄでそれぞれ軽くなった分が二酸化炭素の発生量であると考えられます。

ここで、炭酸カルシウム５ｇに対して発生する二酸化炭素が2.2ｇである（比で表せば25：11とわかる）ことから、
それぞれ軽くなった分の（25／11）倍が炭酸カルシウムとなります。

Ａ　10－6.92＝3.08ｇが二酸化炭素発生分。3.08×（25／11）＝7.0ｇが炭酸カルシウム分。
　　　　よって炭酸カルシウムの割合は70％となります。

Ｂ　20－12.96＝7.04ｇが二酸化炭素発生分。7.04×（25／11）＝16.0ｇが炭酸カルシウム分。
　　　　よって炭酸カルシウムの割合は80％となります。

Ｃ　30－18.78＝11.22ｇが二酸化炭素発生分。11.22×（25／11）＝25.5ｇが炭酸カルシウム分。
　　　　よって炭酸カルシウムの割合は85％となります。

Ｄ　40－26.80＝13.20ｇが二酸化炭素発生分。3.08×（25／11）＝30ｇが炭酸カルシウム分。
　　　　よって炭酸カルシウムの割合は75％となります。

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正しく「比べる」ことはできますか。

ある数Ｘを5回かけあわせた数を（Ｘ∧5）と表すことにします。つまり、

（Ｘ∧5）＝Ｘ×Ｘ×Ｘ×Ｘ×Ｘ

　となります。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) （3∧15）＝（27∧ア）で、アにあてはまる数はいくつですか。

(2) （2∧10040）、（3∧8032）、（4∧6024）、（5∧4016）を小さい順に並べなさい。

同じ数を何千回もかける必要はありません。

(1) 5
(2) （5∧4016）、（2∧10040）、（4∧6024）、（3∧8032）

(1) まず、3を15回かけた数が、27をア回かけた数に等しいことから、3をかけ合わせて27ができることがわかります。ここで、3×3×3＝27ですから、（3∧15）の3を3個ずつセットにすれば27がかけ合わせられたことになります。15個の3を3個ずつセットにすると、15÷3＝5セットできることから、（3∧15）＝（27∧5）とわかります。

(2) まず、かけ合わされた個数があまりにも大きいことから、実際に計算してたしかめていくことは困難です。そこで、よく見てみると以下のとおり「かけ合わされた個数がどれも2008の倍数になっている」ことに気がつきます。

4016＝2008×2
6024＝2008×3
8032＝2008×4
10040＝2008×5

つまり、

4016＝2008×2→2個のセットが2008セットできる。
6024＝2008×3→3個のセットが2008セットできる。
8032＝2008×4→4個のセットが2008セットできる。
10040＝2008×5→5個のセットが2008セットできる。

これにより、

（2∧10040）＝（（2×2×2×2×2）∧2008）＝（32∧2008）
（3∧8032）＝（（3×3×3×3）∧2008）＝（81∧2008）
（4∧6024）＝（（4×4×4）∧2008）＝（64∧2008）
（5∧4016）＝（（5×5）∧2008）＝（25∧2008）

となり、比べることが容易になります。

2008の倍数であることに気づけるか否かで、所要時間が大きく変わる一問です。

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正しく「比べる」ことはできますか。

図１の地域の地層のようすを調べるために、３つの地点Ａ～Ｃで深さ22ｍまでボーリングを行ったところ、図２のようになりました。～は、下に示すような岩石の層でできています。地層は曲がったりずれたりしていませんが、一定の向きにかたむいています。図１の点線は、５ｍごとに同じ高さの地点を結んだもので、北の方が高くなっています。

各地点の間のきょりを水平にはかったところ、地点Ｂは地点Ａから南に200ｍのところにありました。また地点Ｃは地点Ｂから東に200ｍで南に40ｍのところにありました。

いま、図３のように地層がかたむいている場合、「地層は100ｍにつき５ｍ、西の方が高くなっている」といいます。３地点のボーリングの結果から、地層は東西方向、南北方向にどのようにかたむいていると考えられますか。次の文のＸとＹには適する数を入れ、ＰとＱには適する方角を書きなさい。

南北方向には、100ｍにつきＸｍ、Ｐの方が高くなっている。
東西方向には、100ｍにつきＹｍ、Ｑの方が高くなっている。

比べるには、基準が必要です。

Ｘ…2.5、Ｐ…北、Ｙ…3.5、Ｑ…東

この問題の場合、図１に５ｍおきの等高線が引かれているので、例えばＢ、Ｃ地点の標高を100ｍと設定してみます
（実際に標高を答えるのではなく、あくまで比べるだけなのでとりあえず設定することが有効です）。

すると、Ａ地点の標高は115ｍとわかります。これらを、それぞれ地質柱状図の地表面に書き込んでいくと、

Ａ、Ｂ、Ｃの層で明らかに同じと考えられるとの境界線を調べると、

南北…ＡとＢ→200ｍで５ｍだけＡが高いことから、100ｍあたり2.5ｍ北の方が高い。
東西…ＢとＣをこのまま比べるわけにはいかない（南北にもちがいがある！）ので、

上の図１のようにＢから南に40ｍ行ったＤ点を設けると、ＤとＣを比べればよいことになります。

ここで、南北のかたむきからＢで標高90ｍにあるとの境界線は、Ｄでは89ｍにあることがわかります。

また、同じ境界線がＣでは標高96ｍにありますから、東に200ｍ行くと地層が７ｍ高くなることがわかります。

よって、100ｍあたり3.5ｍ東の方が高いことになります。

さて、南北の傾きを調べるにあたって、
ＡとＢを比較する際にただ図２の地質柱状図の傾きからＢの方が高いと思い込みませんでしたか？


地質柱状図は、あくまでその地点における地表からの深さを表しているわけですから、
ことなる地点を比べるためには何かをそろえなければなりません。

これは問題の設定によりますが、その問題の中で明らかに同じ高さである層を基準にすればよいのです。

この問題のように、特に同じ高さとわかる層がない場合は、標高を設定して比べることが有効です。
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大問における小設問は、いわば「ヒント」に他なりません。

生物は呼吸をします。



呼吸とは、空気中の酸素と体の中の栄養分を結びつけて、生きるために必要なエネルギーを取り出すことです。

この反応で使われた栄養は二酸化炭素と水になって体の外に放出されます。

呼吸に必要な栄養分(呼吸材料)には、ブドウ糖、脂肪、タンパク質があります。



呼吸材料の種類によって、反応するのに必要な酸素の割合がちがうので、

生物がどの呼吸材料を使って呼吸をしているのかは、

放出された二酸化炭素と吸収した酸素の体積比で調べることができます。この比を呼吸商といい、

以下の計算式で求めることができます。



　ブドウ糖、脂肪、タンパク質がそれぞれ呼吸材料として使われた場合の呼吸商の値を調べると、次のようになることが分かっています。





発芽直後のダイズ種子について呼吸の状態を調べるために、図のような装置を使って実験をしました。

［実験］

　図のように、赤い水滴が同じ位置に入った装置Ａ、Ｂを用意し、光を当てて３時間おき、ガラス管内の水滴の移動を調べました。なお、装置Ｂで用いる濃い水酸化ナトリウム水溶液は、空気中の二酸化炭素を吸収するはたらきがあります。

結果］

　装置Ａ：ガラス管内の水滴が、左の方向に４目盛り動いた。

　装置Ｂ：ガラス管内の水滴が、左の方向に20目盛り動いた。

このとき、実験に用いた発芽直後のダイズ種子の呼吸商の値を求めなさい。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（栄東　東大選抜）

装置Ａ、Ｂのガラス管内の水滴の移動は、どうして起こったのでしょうか。

0.8

　まず、それぞれの装置で水滴が動いた理由を考えます。

Ａ、Ｂどちらも水滴が左に動いていることから、フラスコ内の気体の量が減少していることは間違いありません。

発芽したばかりの種子は、激しく呼吸をすることから（これはこの問題の流れから容易に読み取れます）酸素が減少することはわかります。



ここで、装置Ａ、Ｂのちがいは水酸化ナトリウム水溶液の有無です。

　水酸化ナトリウム水溶液のあるＢでは、もともとフラスコ内に二酸化炭素はなく、さらに呼吸によって発生した二酸化炭素も吸収されてしまうため、実験の前後では酸素の量しか変化はありません。



　一方で、装置Ａでは呼吸に使われた酸素が減る一方で、発生した二酸化炭素の分気体の量は増えます。つまり、この差の分だけフラスコの体積が減ることになるのです。

　このことから考えれば、装置Ａ、Ｂでの水滴の動いた目盛りの差は、発生した（呼吸によって放出した）二酸化炭素の量であることがわかります。

　これより、以下のとおり呼吸商が求められます。

［以上、2008栄東・東大選抜より一部抜粋］

　さて、この問題がヒントなしですんなりと解答できたでしょうか。



このやや長いリード文と初めて聞く「呼吸商」という言葉から考えるとこれは難問の部類に入るでしょう。



正しい理論を持って、正答を導くにはかなりの時間を要した受験生が多かったはずです。

何よりも、装置Ａ、Ｂの違いが二酸化炭素に関係することはわかっても、答えをどのように導き出してよいかわからないためです。



　しかし、実際の入試問題ではこの設問の前に次のような設問が用意されています。

問　装置Ａ、Ｂのガラス管内の水滴の移動は、それぞれ何の体積が変化したことによるものですか。次のア～キから選び、記号で答えなさい。

　ア　呼吸により生じた二酸化酸素の体積

　イ　呼吸により吸収された酸素の体積

　ウ　呼吸により生じた二酸化炭素の体積と吸収された酸素の体積の差

　工　光合成により生じた酸素の体積

　オ　光合成により吸収された二酸化炭素の体積

　力　光合成により生じた酸素の体積と吸収された二酸化炭素の体積の差

　キ　呼吸および光合成により出入りした酸素の体積と二酸化炭素の体積の差

　まさに、今回「ヒント」として与えた内容です。

これにより、装置Ａ、Ｂの差異が明確になり、正答までの距離が大きく短縮されます。



ただ「初見問題を解くときは知らないからという理由だけであきらめないという姿勢が大切」というだけでなく、

具体的に身近なところからヒントを探る意識を持ちましょう。

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調べるときは明らかに「闇雲＜きまり」であるという認識、意外に低いです。

１から８までの数が書いてあるカードがそれぞれ１枚ずつあります。この中から４枚のカードを取り出し、２けたの整数Ａ、Ｂを作ると、ＡとＢの最大公約数である２けたの整数Ｃも，残りのカードを使って作ることができました。ＡはＢよりも大きい数とします。ここで、Ｃのうちで最も大きい数は何ですか。また、最も小さい数は何ですか。

　
「条件から見当をつける→きまりをつくって調べる→確認（吟味）する」という、まさに整数問題の王道手順です。

最も大きい数　27　　最も小さい数　12

　２けたの整数Ａ、Ｂは２けたの整数Ｃの異なる倍数であることから、少なくともＡ＝Ｃ×３、Ｂ＝Ｃ×２でなければなりません。作ることのできる数のうち、最も大きい数が87であることから、Ｃは最大でも87÷３＝29となります。また、２けたであることからＣの最小値は当然12となります。よって、Ｃは 12～29までの値をとりうることがわかるので（見当がついたので）、最大については87から順に、最小については12から順に、整理してみます。
最も大きい数

同じカードを２度使えないことと、９、０が使えないことに注意しながら上の表のように順に調べていけば決して難しくありません。

近年、調べ上げることを極度に嫌う（面倒くさがる）子供が多く、
それは自分できまりを作ることなく「思いつき」や「闇雲に試す」という遠回りな作業をしていることが理由に他なりません。

　１つ１つ試していくのが面倒→思いついたのをとりあえずやってみる
　 →答えにたどり着かない（もしくはモレがあって正解に至らない）

という悪循環により、結果遠回りになっていることに気づいてほしいものです。

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前回に続き、新傾向問題は「誘導にのれるか」が勝負の鍵です。

生物が子孫を残すとき、多くの場合で子は親と似ていることに気がついた太郎君は、図書館でいろいろと調べてみました。
すると、親の持っている特徴は子に伝わっていき、それを遺伝とよぶことを知りました。

また、この遺伝について最初に詳しい研究をしたのは、オーストリアの司祭であったメンデルです。
メンデルは、エンドウという植物を観察していたところ、図１のような２種類の形の種子があることに気づきました。
そして、その形のちがいを利用して、次のような４つの実験を行いました。これについて、あとの問いに答えなさい。

＜実験１＞　丸い種子をまいて受粉をくり返すと、何度受粉をしても丸い種子しかできなかった。
＜実験２＞　しわの種子をまいて受粉をくり返すと、何度受粉をしてもしわの種子しかできなかった。
＜実験３＞　実験１、２でできた丸い種子としわの種子をまいて、人工的に一方の花粉をもう一方のめしべに付けると、その子は丸い種子しかできなかった。
＜実験４＞　実験３のあと、子の種子をまいて受粉させて孫を作ったところ、丸い種子としわの種子ができた。

種子を丸くする遺伝子をＸ、種子をしわにする遺伝子をＹとすると、実験１で作った種子のもつ遺伝子はＸＸとなり、実験２で作った種子のもつ遺伝子はＹＹとなるはずです。実験３で、丸い種子の親から子へ伝わる遺伝子はＸ、しわの種子の親から伝わる遺伝子はＹとなるので、表１のように子のもつ遺伝子はすべてＸＹとなることがわかります。

ここで、種子を丸くする遺伝子Ｘの方が、種子をしわにする遺伝子Ｙよりも強くあらわれる性質をもっているので、子はすべて丸い種子であることが説明できるのです。
そして、この性質を優性とよびます。実験４では、ＸＹの遺伝子をもつ子が親になって孫をつくるので、表２のように孫のもつ遺伝子は４通り考えられます。ただし、表の中には実際の孫の遺伝子の組み合わせは書かれていません。

問１　
実験４でつくった孫の種子について、丸い種子としわの種子の割合は何：何ですか。

問２　
実験４でつくった孫の種子をすべてまき、自然に受粉をさせると、丸い種子としわの種子の割合は何：何になりますか。
ただし、エンドウは自然界では自家受粉を行います。

問３　
オシロイバナは、不完全優性という性質をもつ植物です。
例えば、オシロイバナの赤い花と白い花で子を作ると、子はピンク色の花をさかせます。
これは、赤い花になる優性の遺伝子Ｐが不完全であるために、白い花になる遺伝子ＱとでできたＰＱが、赤ではなく中間のピンク色になってしまうのです。ピンク色の花と白い花で子を作ると、赤色の花は何％の割合であらわれますか。 　

　　ただ「決まり」に従うだけです。

問１　３：１
問２　５：３
問３　０％

問１　それぞれの遺伝子を組み合わせると、下の図 のようになります（赤＝丸い種子）。

問２　自家受粉をするエンドウは、人工的に手を加 えない限りその花の中で受粉が行われるので、同じ 組み合わせの遺伝子で遺伝が繰り返されていきます。 よって、問１の４つの組み合わせに対して、下の図 のような組み合わせが考えられます。

問３　ピンク色の花がもつ遺伝子の組み合わせはＰＱ、 白色の花がもつ遺伝子の組み合わせはＱＱなので、右 の図のような遺伝になります。ここで、赤色の花がも つ遺伝子はＰＰしかないので、この場合赤色の花がさ くことはないことがわかります。

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