学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

新傾向問題は「誘導にのれるか」が勝負の鍵です。

　すべての物質は、原子と呼ばれる非常に小さな粒でできています。私たちの身のまわりにある空気の中にも様々な気体が存在していますが、それらの気体もすべて、原子がもととなってできているのです。そして、原子どうしが互いに結びつくことで分子と呼ばれるかたまりを作っています。

　ここで、すべての原子からはそれぞれ決まった数の棒が出ており、この棒どうしが結びつくことで分子ができているものと考えてみます。つまり、人が手を伸ばして握手するのと同じように、原子どうしが結びついてるのです。このことから、原子から出ている棒を「結合の手」と呼ぶことにします。

　例えば、水素、酸素、窒素などの気体は、それぞれ図１のような水素原子、酸素原子、窒素原子が２つずつ結びついてできており、それらの結びつき方を表したのが図２です。ただし窒素分子はここでは表わされていません。また、以下の問いでは考えやすくするために、下記のような決まりを作ります。

＜決まり＞
・すべての原子の結合の手は、２本以上が同じところから出ることはない。
・それぞれの結合の手が結びつくときは、必ずまっすぐに結びつく。
・それぞれの結合の手は、まっすぐに結びつくために90°だけ回転することができる。
・原子が分子をつくるとき、すべての結合の手が結びつき、結合の手があまることはない。

　また、異なった原子が結びついて、別の物質を作ることもあります。
例えば、水は水素原子２つと酸素原子１つが図３のように結びついてできています。また、図４は炭素原子をあらわしていますが、結合の手は表されていません。

問１　アンモニアは、窒素原子１つと水素原子３つが結びついてできています。このとき、アンモニア分子はどのように表されますか。

問２　メタンは、炭素原子１つと水素原子４つが結びついてできています。このことから、炭素原子には結合の手が何本あると考えられますか。

問３　二酸化炭素が水にとけると、炭酸水という水溶液になります。つまり、二酸化炭素分子と水分子が結びつくことで炭酸水となるのです。そして、炭酸水分子は図５のように原子が配置されていることがわかっています。このとき、結合の手はどのようになっていますか。

　ただ「決まり」に従うだけです。

問１
　

問2　4本

問3
　　

問１　水素原子は、結合の手が１本しかないため、２つ以上の原子と結びつくことができません。つまり、水素原子どうしが結びつくことは考えられない（それで水素分子になってしまう）ので、水素原子はすべて窒素原子と結びつかなければなりません。

問２　問１と同様に、水素原子はすべて炭素原子と結びつくと考えられます。水素原子が４つ結びつくためには、炭素原子には４本の結合の手が必要です。

問３　まず、下の図のようにそれぞれの原子にＡ～Ｆの記号をつけて説明することにします。

1）Ｆの水素原子は、結合の手が１本であるためにＥと結合しなければなりません。よって、ここでＥの結合の手が１本使われます。
【Ｆの結合終了】

2）Ｅの残ったもう１本の結合の手は、ＢかＤと結合することになりますが、仮にＤと結合した場合、Ｄ、Ｅ、Ｆの結合の手がすべて使われてしまい、Ａ～Ｃの原子と結びつくことができなくなってまいます。よって、Ｅの残りの結合の手は、Ｂと結びつくしかありません。
【Ｅの結合終了】

3）Ｄの水素原子は、Ｅと結合できないので、Ａと結合するしかありません。
【Ｄの結合終了】

4）Ａの残ったもう１本の結合の手は、Ｂと結合するしかありません。
【Ａの結合終了】

5）残ったＢとＣは、それぞれ２本ずつ結合の手があまっているので、ここで２本ずつ結びつくことがわかります。
【すべての結合終了】

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本当の学習とは、教わる学習ではなく「自ら歩み出す学習」です。

下の図で、ＡＣの長さは１０cm、ＡＦの長さは６cmで、(ＡＤの長さ)：(ＢＤの長さ)＝３：２、(ＢＥの長さ)：(ＥＣの長さ)＝５：２であるとき、図のアの角度は何度ですか。

　・平行線の威力を感じてください。
　・気づく必要はありません。色々と試してください。

６７度

図１のように、与えられた情報を書き込むと、ＡＢとＢＥが異なる比ながらも「５」で揃います。

図1：

平行線にそって比が移動できる（相似の性質─ピラミッド）を利用すれば、図２のように新たに点Ｇを作ることで点Ｄを頂点とした新たなピラミッドが出来あがります。

図2：

このとき、三角形ＤＡＦと三角形ＤＧＣが相似であること（相似比３：５）から、
　辺ＣＧ＝６×（５／３）＝１０cm
とわかります。

つまり、△ＣＡＧは二等辺三角形となります。

さらに、ＡＦとＧＣが平行ですから、平行線の錯角を利用して

　角ＡＧＣ＝４６度となり、
　角ＣＡＧ＝角ＣＧＡ＝（１８０－４６）÷２＝６７度

とわかります。

　求める角アは、平行線の同位角によって角ＣＧＡと等しくなるので、答えは６７度となります。
　

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「何となく」が導く「うっかりミス」は「大きな過ち」です。

０、１、２、３の４つの数字を使った整数を１番目を０として、順に下のように並べます。

　　　　　０，１，２，３，１０,１１,１２，１３，２０，２１，２２，・・・

このとき、３４番目の数は何ですか。

正しい決まり（規則）を見つけてください。

201

０～３の４つの数字しか使えないわけですから、４進法で考えなければなりません。

つまり、簡単に言ってしまえば「３の次は４ではなく、位を変えなければならない」ということです。

これにしたがって数を並べてみると、３４番目の数は２０１であることがわかります。

　　０　　　１　　　２　　　３
　１０　　１１　　１２　　１３
　２０　　２１　　２２　　２３
　３０　　３１　　３２　　３３
１００　１０１　１０２　１０３
１１０　１１１　１１２　１１３
１２０　１２１　１２２　１２３
１３０　１３１　１３２　１３３
２００　２０１　・・・・・・・

　さて、実際「８１」と誤答を導いていないでしょうか？もちろん、この問題で使える数字に８はないわけですから正答ではありえません。

しかし、この問題の数の並びを見て、１の位に「０、１、２、３」の周期があると単純に思い込んでしまうと３４÷４＝８・・・２から、
９周期目の２番目、すなわち「８１」と答えてしまいやすいのです。

　さらに、そのような誤答を導いた場合、「あっ、何だ。そんなことか？！」や「うわっ、見落とした！」のように簡単なミスであったとすり返してしまう子供たちが多いことが一番の問題といえるでしょう。

また、きちんと４進法であることに気がつけば、この解説のように書き出すことなく式で処理をすることが可能です。

しかし、この場合にも「２０２」という誤答が散見されます。これは、最初の０を１番目とカウントしてしないことによるものですが、ここでも「うっかり１つずれてしまった」とミスとして終わらせてしまうのは、非常に悲しいことです。

　数多くの失敗を、その場限りではなく「次に同じ失敗がないように生かす」ことを意識してほしい、そんな一問です。

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「実験」は、遊びではなく「確かめるための道具」です。

空気中の水蒸気の量とその変化について次の実験をしました。

＜実　験＞
手順１　
図１のような５リットル の大きさのペットボトルの内部を十分に乾燥させる。
手順２　
スポイトを使って、ペットボトルの中に水てきを２つぶ落とし、温度計のついたゴムせんでふたをしたあと、そのゴムせんのまわりをテープで巻く。
手順３　
そのペットボトルを、図２のように温風器であたため、内部の水をすべて蒸発させる。
手順４　
次に、ペットボトルを冷やし、ペットボトルの内部がくもりはじめたときの温度を記録する。
手順５　
スポイトから落とす水てきのつぶの数を３つぶ、４つぶ、５つぶ、６つぶと変え、それぞれについて手順１～４をくり返す。
　
設問　下線部のように、ペットボトルを冷やす方法として最も適切なものを、次のア～オから選び、記号で答えなさい。

　　　ア．ペットボトルをそのままにして冷やす。
　　　イ．ペットボトルに水をかけて冷やす。
　　　ウ．ペットボトルを半分くらい水につけて冷やす。
　　　エ．ペットボトルをすべて氷水につけて冷やす。
　　　オ．ペットボトルを半分くらい氷水につけて冷やす。

ただ冷やすだけならば・・・？

ア

この実験は、空気中の水蒸気量とその変化についての実験です。

その中で「ペットボトルを冷やす」という操作が必要になっているわけですが、
その手順４の目的は「ペットボトルの内部がくもりはじめたときの温度を調べる」ことです。

ペットボトル内の空気に含まれる水蒸気が水滴に変化することでくもりが発生するわけですから、
下線部のように冷やす必要があることがわかります。

ここで、変化の瞬間を記録するのに好都合な条件を考えれば、急激に冷やすことは避けなければなりません。
ゆっくり冷やすべきであることと、手順３で温風器によって水滴を蒸発させていることから考えれば、
室温（常温）で冷やすことが最も適切であることがわかるのです。
　

さて、この問題を「実験の意図」に目を向けず、ただ下線部だけに注目してしまっていたらどうでしょう。
おそらく、その多くの子供たちはイやエを選ぶのではないでしょうか。

ヒントのように、ただ冷やすだけならばできるだけ冷たいものに触れさせることが最善の方法と考えられるからです。
現に、大手進学塾の選抜試験では、大半がエを選択しているようです。

　同じ１つの操作であっても、目的によって適切な方法は変わるのです。

実験から遠ざかり、テキストばかりで学習することから生まれた理科嫌いな生徒は、
何か大切なこと（本来学び取るべきもの）を忘れている気がします。

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前回に続き、情報に惑わされず、図形の本質を見抜くことが真の「力」です。

　下の図は四分円ＯＡＢの弧の上に点Ｃ、Ｅを、半径ＯＡ上に点Ｄをとり、それらを結んだものです。このとき、辺ＣＤの長さを求めなさい。ただし、角ＢＯＣ＝10度、角ＯＣＤ＝角ＣＤＥ＝20度です。

必要な情報を見抜いてください。

12cm

　角ＣＯＤ＝80度であることから、△ＯＣＤは二等辺三角形であることがわかります。

よって、ＯＣ＝ＣＤで、ＯＣは四分円の半径ですから、ＯＣ＝ＣＤ＝12cmであることがわかります。

　この解説のとおり、この問の答えを導くために「角ＣＤＥ＝20°」という情報は使いません。

受験テクニックを学んでいくと、どうしても与えられた情報（特に頻出のテクニックや知識に関わる情報）から答えを探っていくことが多いもので、もちろんそれが重要であることが多いのですが、逆にその情報に惑わされて本来の解答を導くポイントを見失う危険性があるのです。

　この問題であれば、「求められる角度から二等辺三角形に気づく」ということ以上に、
「ジグザグの線→平行線による分割」が頭から離れず、下の図のようにＯＢと平行な線を引き・・・
などと考え始めた人が多いのではないでしょうか。

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情報に惑わされず、図形の本質を見抜くことが真の「力」です。

　下の図は四分円ＯＡＢの弧の上に点Ｃをとり、点ＣからＯＡ、ＯＢにそれぞれ平行な線を引き、長方形ＯＤＣＥを作ったものです。このとき、辺ＤＥの長さを求めなさい。ただし、∠ＯＥＤ＝60度です。

60度は、重要でしょうか？

12cm

　辺ＤＥは、長方形ＯＤＣＥの対角線です。よって、ＤＥ＝ＯＣであり、辺ＯＣは四分円の半径ですから答えは12cmとなります。

　この解説のとおり、この問の答えを導くために「∠ＯＥＤ＝60度」という情報は使いません。

受験テクニックを学んでいくと、どうしても与えられた情報（特に頻出のテクニックや知識に関わる情報）から答えを探っていくことが多いもので、もちろんそれが重要であることが多いのですが、逆にその情報に惑わされて本来の解答を導くポイントを見失う危険性があるのです。

　この問題であれば、「ＤＥが長方形の対角線である」ということ以上に、「∠ＯＥＤ＝60度」が頭から離れず、ＯＥ：ＤＥ＝１：２だから・・・などと考え始めた人が多いのではないでしょうか。そのような人は、この問題が「ＢＥの長さを求めなさい」の方が意外と即答できたかもしれませんね。

ちなみに、ＢＥ＝ＯＢ－ＯＥ＝ＯＢ－ＤＥ÷２＝６cmです。

　余談ですが、60度にこだわらず下の図のようにどのような長方形を描いたとしてもＤＥ＝12cmということですね。

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条件整理力という全ての科目に通じる基礎能力を手に入れてください。

①～⑦の水溶液は、下の７つの水溶液のどれかです。下の実験をもとに、それぞれの水溶液が何であるか答えなさい。ただし、Ａ～Ｅと結果１～５の順番は対応しているとは限りません。

水酸化ナトリウム水溶液
過酸化水素水
炭酸水
ホウ酸水溶液
アンモニア水
うすい塩酸
石灰水

Ａ　水溶液にアルミはくを入れたところ、とけたものを○と表す。
Ｂ　水溶液に赤色リトマス紙をつけたところ、色が変わったものを○と表す。
Ｃ　水溶液を蒸発皿にとり、アルコールランプで加熱したところ、においがしたものを○と表す。
Ｄ　水溶液に青色リトマス紙をつけたところ、色が変わったものを○と表す。
Ｅ　水溶液を蒸発皿にとり、アルコールランプで加熱したところ、固体が残ったものを○と表す。

問　 ①～⑦の水溶液はそれぞれ何ですか。

ノーヒントです。

①石灰水　②ホウ酸水　③アンモニア水　④炭酸水　⑤うすい塩酸　⑥過酸化水素水　⑦水酸化ナトリウム水溶液

下の表を見てみると、水溶液によって反応を示す実験の個数が異なることがわかります。

これにより、どの実験にも反応しない⑥が過酸化水素水、
１つだけ反応する④が炭酸水とわかります。

すると実験Ｄが実験結果４と判明するので、同じく実験Ｄに反応する残りの水溶液に注目すると、ホウ酸水と塩酸です。

この２つも反応する実験の個数が異なるので、②がホウ酸水（○が２個）で⑤が塩酸（○が３個）とわかります。続いて、ホウ酸水がもう１つ反応を示したのが実験Ｅですから、これが実験結果２となります。このようにして、残りも特定することが可能です。

この問題は、実験結果１～５が、実験Ａ～Ｅのうちどの結果なのかが不明であるところが難しく感じる原因です。

そこで、とりあえず７つの水溶液に対してＡ～Ｅの実験を行ってみて、表に整理してみると、
反応を示す実験の個数に差異があることに気づけるのです。

水溶液の分析実験の中に、理科的性質を絡めた条件整理の要素を含んだ良問です。

ぜひ、誰かに解説できるくらい自分の頭の中で整理してほしい問題といえます。

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複数の段階を踏んだ計算問題は、中学入試理科の主流となりつつあります。

植物の光合成と呼吸について調べるために、同じ大きさのメダカ２匹と、葉の面積がほぼ等しいオオカナダモ３つを用意し、同量の水を入れた容器Ａ～Ｅに次のように入れました。

容器Ａ：水のみを入れた。
容器Ｂ：水にオオカナダモを入れた。
容器Ｃ：水にオオカナダモを入れ、アルミはくで包んだ。
容器Ｄ：水にメダカを入れた。
容器Ｅ：水にオオカナダモとメダカを入れた。

＜実験＞　数日間くみ置きした水道水を使ってＡ、Ｂ、Ｃ、Ｅをつくり、ふたをして十分な光を１時間当てた あと、それぞれの容器の酸素量を測定した結果、下の表のようになった。

(1) オオカナダモがこの１時間でつくった酸素量は、何mgですか。
(2) メダカの呼吸によって、この１時間で使われた酸素量は、何mgですか。

それぞれの容器内で何が起こっているのでしょうか。

(1) 5.3mg
(2) 2.6mg

植物のはたらきのうち、重要な３つは光合成、呼吸、蒸散です。植物は光が当たると光合成を行い、自ら養分（デンプン）を作り出すことができます。そして、このときに二酸化炭素を取り入れて酸素に変えて出しています。また、作った養分からエネルギーを取り出す呼吸を行うと、光合成とは逆に酸素を取り入れて二酸化炭素に変えて出します。そして、この呼吸は光を必要とはしないので、一日中絶えず行っているのです。さらに、メダカは呼吸によって酸素を取り入れて二酸化炭素を出しています。

・Ｂでは、オオカナダモが光合成と呼吸を行いますが、十分な光があたっていると考えられるので光合成の方がさかんです。よって、二酸化炭素が減ることになります。

・Ｃでは、光があたらないためにオオカナダモは光合成を行うことができません。よって、呼吸のみを行う ので二酸化炭素が増えていきます。

・ Ｄでは、メダカが呼吸のみを行います。つまり、Ｃと同じ状態になります。

・Ｅでは、オオカナダモが光合成と呼吸を行うと同時に、メダカが呼吸を行います。ここで、光合成は酸素量が増えるはたらき、呼吸は酸素量が減るはたらきですから、表にまとめると、

Ｃの結果から、オオカナダモの呼吸によって１時間あたり0.8mgの酸素が減っていることがわかります。
よって、Ｂに注目をすればオオカナダモの呼吸によって0.8mg減っているにもかかわらず、結果4.5mg増えているので、光合成によって5.3mg増えることがわかります。同様に、Ｅに注目すればメダカの呼吸によって減った酸素量が求められます。

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「早い者勝ち」とは本当でしょうか。

　ある夏祭りで、兄弟である太郎君と次郎君が、くじ引きに挑戦しました。このくじは、全部で10本のうち当たりが２本含まれているくじで、１人１本だけ引くことができます。そこでの２人の会話をもとに、あとの問いに答えなさい。

太郎「次郎、くじ引きやらない？」
次郎「当たりくじ、まだ残ってるかな？」
太郎「まだ誰もこのくじに挑戦してないみたいだぞ。」
次郎「じゃ、僕、先にくじ引いていい？」
太郎「ズルいぞ。オレの方が年上なんだから、オレが先だよ。」
次郎「え～、お兄ちゃんこそズルいよ。じゃ、僕が引いたら、せ～ので一緒に見ようね。」

　さて、先にくじを引く太郎君と、後からくじを引く次郎君ではどちらの方が当たる可能性が高いでしょうか。

先に引けば当たりくじが多い…？

解説参照

　説明のために、10本のくじをＡ～Ｊとします（当たりくじはＡとＢ）。
太郎君のくじの引き方10通りそれぞれに対し、次郎君には９通りの引き方があるので、組み合わせは全部で90通りあります。
ここで、太郎君が当たりくじを引いているのは、ＡまたはＢを選んでいる９×２＝18通りです。

また、次郎君が当たりくじを引いているのは、以下の通りです。

１）太郎君がＡを選んでいる場合…Ｂの１通り
２）太郎君がＢを選んでいる場合…Ａの１通り
３）太郎君がＣ～Ｊを選んでいる場合…それぞれＡかＢの２通りずつなので、８×２＝16通り

よって、次郎君も18通りあります。全90通りのうち、お互い18通りずつの可能性があるので、２人の当たる可能性は五分であることになります。

まとめ
　くじの本数が何本であれ、当たりくじが何本であれ、この問題の例のように先に引くことによって当たる可能性（確率といいます）が高くなることはありません。

しかし、もしも先に引いた太郎君がくじの当たりかはずれを確認したあとで次郎君がくじを引くならば話は別です。この問題の例でいえば、太郎君が当たりを引く確率は18／90＝１／５で変わりませんが、次郎君は次の場合が考えられるのです。

Ａ）太郎君が当たりくじを引いている場合…残りの９本の中で当たりは１本しかありません。つまり確率は１／９で、太郎君よりも損をしています。

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Ｂ）太郎君がはずれくじを引いている場合…残りの９本の中で当たりが２本あるので、確率は２／９となり、太郎君よりも得をしています。
　つまり、先にくじを引いた人の結果を聞いた場合では、得するか損するか一か八かの賭けになるわけです。そういう意味では、やはり結果を聞く前の段階ではどちらも損得なしといえませんか？

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状態変化と体積・重さの関係は簡単なようで複雑です。

下の図１は、ビーカーにある量の水を入れた状態を表しています。そこに、ある大きさの氷を入れた状態を表したのが図２です。さらに、その氷が完全にとけた状態を表したのが図３です。ただし、それぞれの図で水面の高さは正しく表されているとは限りません。これについて、次の問いに答えなさい。

問１　図１と図２で、どちらの水面が高いですか。次のア～エから選び、記号で答えなさい。

　　ア．図１の方が高い。
　　イ．図２の方が高い。
　　ウ．図１も図２も変わらない。
　　エ．これだけではわからない。

問２　図２と図３で、どちらの水面が高いですか。次のア～エから選び、記号で答えなさい。

　　ア．図２の方が高い。
　　イ．図３の方が高い。
　　ウ．図２も図３も変わらない。
　　エ．これだけではわからない。

水と氷の体積を比べると…、危険です。

問１　イ
問２　ウ

問１　
水中に入った氷の分だけ水がおしのけられます。これにより、見かけ上水の体積が増えますから、水面は高くなります。

問２　
状態変化（固体⇔液体⇔気体の変化）に伴い、体積は変化しても重さは変化しません。
氷が浮くのは「氷の重さと等しい浮力がはたらく」からに他なりません。

ここで、浮力はおしのけられた液体の体積と同じ重さの分だけはたらくので、浮いた氷の重さと同じ重さをもつ分だけの水がおしのけられていることになります。

つまり、この氷が水に変わっても、おしのけられる水の体積は変わらないのです。

よって、図２から図３で水面の高さが変化することはありません。

まとめ
　固体よりも液体の方が体積が大きいという基本知識に対し、例外として「水よりも氷の方が体積が大きい」ということはあまりにも有名です。しかし、単に体積の変化ばかりに目を向けては、本来変わるはずのない重さを絡めた問題で大きな誤りを導いてしまいます。

本問では、以下の誤答が目立ちます。

◇図２の氷よりも図３で水に変化した方が体積は減るのだから…ア

◇氷がとけて水になれば、水の量が増えるから…イ

浮力の考え方を用いれば簡単に理解できることですが、そうでなければ上記のような誤答を招くか、大きく悩む問題ではないでしょうか。ぜひ、じっくり考えて理解してください。

また、このことからさらに図２で水面上に飛び出している氷の体積が、ある重さの水が凍ったときに増えた体積の分であることがわかります。これも、ぜひ考えてみましょう。