学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　顕微鏡の注意点【対象学年：4年生以上】





　大きさが１mm程度のミジンコを観察するために、学校のクリーンルーム（ちりやほこりがない部屋）で顕微鏡を使うことになりました。このときの顕微鏡の使い方について、誤っているものを１つ選びなさい。

　ア．まず対物レンズをとりつけた後に、接眼レンズをとりつける。

　イ．まず高倍率で見た後、全体を見るために低倍率にする。

　ウ．ピントを合わせるときは、接眼レンズをのぞきながらステージを下げていく。

　エ．プレパラートをステージに乗せる前に、反射鏡で視野の明るさを調節しておく。

ありません。

イ

　顕微鏡の使い方は、中学・高校入試ともに頻出です。きちんと整理しておきましょう。

　まず、４つの選択肢の中には、２つ誤りがあります。

　ア→対物レンズを先にとりつけてしまうと、接眼レンズをとりつける間にほこりが入ってしまいます。小さな小さなほこりではありますが、顕微鏡で拡大されてしまうことで視野の大部分を妨げらてしまいます。正確には、接眼レンズを取り付けたあとで対物レンズを取り付けます。

　イ→先に高倍率で見ることは極めて難しいです。倍率が高い分視野が狭くなりますから、覗いた視野の中に対象物がないことが多いからです。そこでプレパラートを動かして調節しようとしても、微々たる動きが拡大された視野の中では大きな動きとなりますので、なかなか対象物が見られません。むしろ、低倍率で広い視野のもと対象物を中央に持ってきて、その上で適する高倍率にするのが正しい操作となります。



　さて、本問ですが、よく問題文を見ると「クリーンルームで」とあります。これにより、アの選択肢の誤りを考慮する必要がありませんから、答えはイとなります。

　とりわけ中学入試では、顕微鏡で観察する際に、１つ１つの操作を順に並び替えさせる問題をよく見ます。

　「２８０倍で観察したい」という問題に対し、選択肢に「７０倍で観察する」とあっても無視されがちですが、まずその操作によって対象物を視野の中央にもってくるという大切な操作なのです。すべての操作に意味・理由があることに注意しましょう。それが理科という科目ですね。

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　対称性を利用する【対象学年：4年生以上】





１－９までのカードが、一枚ずつあります。
このカードを並べて3桁の数を作ったとき、十の位が一番大きく、つぎに百の位、一の位の数字が1番小さくなるような並べ方は何通りありますか。

まずは、書き出してみましょう。
また、あることに気づくと解くのがぐっとらくになります。

84通り

（解法１）



十の位、百の位、一の位の順に数が大きいのですから、その順に樹形図などを使って整理していきましょう。





そうすると、十の位が「９」のとき、７+６+５+…+２+１=28通り
十の位が「８」のとき、 ６+５+…+２+１=21通り
同様に、十の位が「７」のとき、 ５+４+…+２+１=15通り
「６」のとき、 ４+３+２+１=10通り
「５」のとき、 ３+２+１=６通り
「４」のとき、 ２+１=３通り
「３」のとき、 １通り

となります。
十の位が１または２の場合は百、または一の位が十の位より大きくなってしまうため、ありません。



よってこれらすべてを加えると、84通りとなります。

（解法２）



実はこの問題に関しては、９×８×７÷６=84という式でも求められます。
理由は以下の通りです。

１枚の１～９までの数字を並べてできる数字は全部で９×８×７通りあります。このうちどの３枚を選んだときも、百の位、十の位、一の位の数字の大きさは（百，十，一）の順で、
（大・中・小）（大・小・中）（中・小・大）（中・大・小）（小・中・大）（小・大・中）の６通りができます。
このうち問題の条件を満たすものは１つだけですから、全体を６で割ると答えが出ます。



このように、ある条件を満たす複数のものが、均等に散らばっている状態を「対称性がある」といいます。円卓に人が座っていくような場合などにもこういった考え方で、全体を均等に割れば答えが求まったりしますね。


また、この問題では、１～９までの数字から３枚を選んだとき、その３枚の並び方のうち、条件を満たすのは１つだけですから、結局
「１～９から３枚選ぶ選び方が何通りあるか」という組み合わせを求めるのと変わらないことになります。
こういった問題文の読みかえ、言いかえも重要な考え方のひとつです。

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　条件を絞り込む【対象学年：5年生以上】





次の会話は、春子さんと秋夫くんが数あてクイズをしている様子です。その数の約数は２つだけですか。



春子　その数の約数は２つだけですか。

秋夫　はい

春子　その数を５倍すると100より大きい数になりますか。

秋夫　はい

春子　その数を２回かけたら900より大きい数になりますか。

秋夫　いいえ

春子　その数は（　　ア　　）よりも大きいですか。

秋夫　はい

春子　その数は（　　イ　　）ですか。

秋夫　はい





（１）　（　　イ　　）にあてはまる数がただ１つになるような（　　ア　　）にあてはまる数のうち５の倍数を答えなさい。





（２）　（　　イ　　）にあてはまる数を答えなさい。





（平成16年頌栄女子学院中・第２回）

約数２つ　＝　素数

ある数　×　５　＝　100より大きい

ある数　×　ある数　＝　900より小さい



この条件を満たす数はかなり絞られますね。

　（１）25　　　（２）29

（１）

約数が２つあるということは、ある数は素数ということになります。また、ある数×５＝100より大きいということから、ある数は20より大きい数とわかります。次に、ある数×ある数＝900より小さいということから、ある数は30より小さい数とわかります。

以上の条件で数を並べてみると

21　22　23　24　25　26　27　28　29

これらの中で23と29の２つの数が残ります。

この２つの数をどちらが１つに絞り込むために５の倍数で比較するので25を基準にして比較することになります。よって、答えは25となります。



（２）

（１）より、ある数は25より大きいということがわかります。23と29の中で25より大きい数は29しかありません。よって、答えは29と決まります。





ポイント

条件を絞り込む際に、数をどこまで絞り込んだのか、絞り込んだ数をどの切り口で絞り込んでいくかが重要です。今回は、かなり細かい誘導がありましたが春子さんの質問の虫食いがより多かったときに春子さんの絞り込みの考え方ができたかどうか試してみるのも良いでしょう。

絞り込みのポイントは大きい切り口から細かい切り口へ絞り込んでいくことです。

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　うまく数えよう（場合の数）【対象学年：5年生以上】





10個のりんごをAさん、Bさん、Cさんの3人に配ります。3人がもらうりんごの数の分かれ方は何通りあるか。もらわない人がいても良い。

　一列に並んだ10個のりんごを想像してください。Aさんが左からいくつ取るかを決め、「ここまで貰う」という印で線を引きます。つぎにBさんが残りのりんごについて左からいくつ取るかを決めて線を引き、残りをCさんが取るという作業で貰う個数を決めていきます。

　12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めればよく　12×11÷（2×1）＝66通り

Aさんが3個、Bさんが4個、Cさんが3個貰うとすると、並んだりんごにはは次のように線が引かれています。

◯◯◯｜◯◯◯◯｜◯◯◯

Aさんが0個、Bさんが4個、Cさんが6個貰うとすると次のようになっています。

｜◯◯◯◯｜◯◯◯◯◯◯

Aさんが2個、Bさんが0個、Cさんが8個貰うとすると次のようになっています。

◯◯｜｜◯◯◯◯◯◯◯◯

つまり10個の◯（りんご）と2本の｜合わせて12個をどのように並べるかを考えればよいことがわかります。

これは、12個の空欄のうちどこの2つに｜を入れるかを考えればよいので12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めます。

この「仕切りの線」を考える方法は様々な場面で応用できます。

中学入試では、「A、B、Cの3つの箱に10個のボールを入れる入れ方は何通りか」という設定が多いですね。

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　対偶を利用しよう【対象学年：４年生以上】





　つぎのＣの結論がいえるためには、Ａ，Ｂのほかにどの条件が必要か。

適当なものを１～５の中から１つ選び、記号で答えなさい。



Ａ：理知的でない人は、判断力をもっていない。

Ｂ：企画力のある人は、理知的でない。

Ｃ：したがって、企画力のある人は判断力をもっている。



１　企画力のない人は、理知的な人ではない。

２　企画力のない人は、判断力のない人である。

３　判断力のない人は、理知的な人ではない。

４　判断力のある人は、理知的な人である。

５　理知的な人は、企画力をもっている。

　ありません。

　３

　Ａ～Ｃのなかで、Ａの「～でない人は～ない」の表現は、ほかと比べにくい。

選択肢１，２，３も同様です。

　このようなときには、対偶を用いて表現をそろえてやるとわかりやすくなります。



対偶とは、

「ＰならばＱである」があるとき、

「Ｑでなければ、Ｐでない」ことが

成り立つことをいいます。



たとえば、Ａの「理知的でない人は、判断力をもっていない」は、

「判断力をもっている人は、理知的である」といえるのです。

とすると、Ａ：判→理、Ｂ：企→理、Ｃ：企→判

よって、Ｃの結論がいえるためには、Ｂを利用して、企→理→判　が必要なことがわかります。


　
　ここで、理→判　を選択肢からさがすことになりますが、

　１：理→企（対偶）

　２：判→企（対偶）

　３：理→判（対偶）

　４：判→理

　５：理→企

となっているので、正解は３ですね。

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　ダイヤグラムの利用【対象学年：５年生以上（６年生以上推奨）】





　下のグラフは、Ａさんが７時３０分に家を出て、Ｂさんの家に行き、そこで４分間休んでからＢさんといっしょに学校へ行くときの時刻と道のりの関係を表しています。また、このグラフの中には、Ａさんのお姉さんが自転車で２人を追いかけ、７時５８分に追い越して８時ちょうどに学校についたようすも描かれています。これから、ＡさんとＢさんは何時何分に学校に着いたことがわかりますか。

　速さと道のりに関して何も与えられていないので、比を利用するしかありません。

　８時６分

　ＡさんとＢさんが４分休まなかったすれば、ずっと一定の速さでＡさんの家から学校まで行ったことになります。よって、Ｂさんの家で４分休むのではなく、Ａさんのスタートが４分遅れた（つまりＢさんとＢさんの家の前で会い、休むことなく学校まで行く）図を書きこんでみると、下のようになります。これより、Ａさんの家からＡさんのお姉さんと出会った位置までに、ＡさんとＢさんは２４分かかり、Ａさんのお姉さんは６分かかったことがわかります。

　同じ道のりを進むのに、ＡさんとＢさんは４倍の時間がかかるわけですから、Ａさんのお姉さんが学校に着くまでに８分かかっているので、ＡさんとＢさんは３２分かかっています。

　よって、７時３４分＋３２分＝８時６分とわかります。

　また、ダイヤグラムで重宝される「三角形の相似（ピラミッド・クロス）」を利用しても回答可能です。

　下の図から、青いピラミッドに注目して赤いクロスの相似比が３：１とわかるので、８時から６分進めればよいことがわかります。

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　実験問題は結果を予想しながら読み解く【対象学年：4年生以上】

　昼間、明るく暖かいところで大きく開いていたチューリップの花が、夕方、うす暗く寒くなると、同じ花と思えないほど閉じていました。そこで、チューリップの花の開閉は光によるものか、温度によるものかを調べてみました。

　チューリップの花の聞き方を図に示した角度で表し、この開いての角度を角度と呼ぶことにします。

『実験２』 十分に明るい、温度20℃のところに置いた、角度100度のチューリップの花は、明るさを変えないで温度を7℃にすると閉じ始め、やがて角度65度になり、そのままの状態が続きました。
　また、十分に明るい、温度７℃のところに置いた、角度65度のチューリップの花は、明るさを変えないで、温度を20℃にすると開き始め、やがて角度100度になり、そのままの状態が続きました。

『実験３』 花の開閉のしくみをくわしく調べるために1枚の花びらを取り、その根もとから内側と外側の２枚にはがしました。この2枚にはがした花びらを水にうかべ、これを『実験２』のように温度を20℃～７℃へ、また、 ７℃から20℃へ変化させ、2枚にはがした花びらの長さを測りました。その結果、長さの変化はグラフのようになりました。

以上３つの実験からチューリップの花の開閉について、次のような結論をだしました。
文の(1) -(10)に入る適当な語を下のア~スから選んで、記号で答えなさい。

チューリップの花が聞いたり閉じたりするのは、 ( １ )に反応して開くのではないことが実験( ２ )から分かりました。( １ )ではなく( ３ )の変化に反応して開くことが実験( ４ )で明らかになりました。花が開くのは( ５ )から( ６ )に移されたときであり、このような( ３ )の変化があったときに、花びらの成長が( ７ )のほうが( ８ )より大きいためです。このことは、実験( ９ )が示しています。したがって、 ( ３ )の変化によって開いたり閉じたりして、花びらは少しずつ(10 )なります。

ア.大きく　　イ.小き 　　ウ.1 　　エ.2 　　オ.3 　　カ.温度　　 キ.光 　 ク.明るいところ 　　ケ.暗いところ 　　コ.高温のところ 　　サ.低温のところ 　　シ.外側 　　ス.内側　 　　　

（桜蔭中）

実験２は明るさが固定され、温度を変えることでチューリップが開花していることがわかります。

実験３では、温度を下げると（左側のグラフ）、外側が大きく成長し、また、温度を上げると（右側のグラフ）内側が成長することを読み取ります。従って、温度を20℃から7℃にした際は、花の外側が成長し、花は閉じます。

温度が上がろうが、下がろうが、花全体でみると成長しています。従って花は大きくなります。

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実験結果から物事を考察する力を試す良い問題です。漫然と起きていることから穴埋めをするのでなく、それぞれの実験結果が何を表すのか考え続けた生徒とそうでない生徒に大きな差がついたのではないでしょうか。

こういった問題を解くコツは「結果を予想しながら問題文を読み解くこと」

考えてもみて下さい。普段の教室の実験でも「どうなるのだろうか」と考えながら参加するのと、なんとなくグループの中で言われたとおりに作業に参加するのでは、考察にたどりつくべく理解度が大きく変わります。試験でも擬似的に積極的に実験に参加する自分を意識してみて下さい。

「なにが起きているのか」集中力を切らさずに問題文・条件を読み込む姿勢が求められます。
読解力が要されるのは国語ではなくむしろこういった複雑な実験問題でしょう。

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　リード文の分析【対象学年：4年生以上】





水素を燃やすと水が、炭素を燃やすと二酸化炭素が、メタンガスを燃やすと水と二酸化炭素ができます。

このような物質の変化を化学変化といいますが、どうしてこのようなことが起こるのか、昔から多数の科学者によって研究されてきました。

そして現在では、物質は原子と呼ばれる小さな粒からできていて、すべての物質は原子がいくつか集まってできているということと、化学変化はその組み合わせが変わることだとわかっています。

そしてそのときは、組み合わせのみが変わるだけなので、化学変化の前後での原子の総数は変わりませんし、それぞれの原子の重さが化学変化によって変わることもありません。

たとえば水素の粒(水素分子という)は水素の原子２個から、酸素の粒(酸素分子)は酸素原子２個から、水の粒(水分子)は水素原子２個と酸素原子１個からできているので，水素を燃やして水ができる化学変化を図１で説明すると次のようになり，水素分子２個と酸素分子１個とから水分子が２個できることがわかります｡

また、炭素の粒１個と反応する酸素ガスの粒は１個で，反応のようすは図２のようになります。

ただし，以下の図では次のような記号を使います。また原子１個は本来とても小さくて軽いものですが、扱いやすいように、水素原子1個の重さを1ｇ、酸素原子１個の重さを16g、炭素原子１個の重さを12gとします。　　(頌栄女子学院・改題)

問　メタンガスが燃えるときのようすについて答えなさい。

　　(1)　メタンガスの粒１個が燃えるときの反応のようすを図１，図２にならって書きなさい。

ただし，メタンガスの粒１個は炭素原子１個と水素原子４個とからできていて，図３のように表すものとします。

　　(2)　64gのメタンガスを燃やすために必要な空気は何ｇですか。

ただし，空気の重さのうち20％が酸素であるとして考えなさい。

　リード文と与えられた図から、物が燃えるときのルールを考えましょう。

(1)


（2） 1280ｇ

（1）まず、リード文と図をよく読みながら、ものが燃えるときの法則を考えます。



すると、ものが燃えるときには

「2個の原子からなる酸素の粒が、ある物質と組み合わさって、水や二酸化炭素となる･･･(ア)」

そのとき

「反応の前後でそれぞれの原子の粒の数は変わらない･･･(イ)」

ことがわかります。



よって(1)の問題については







という式のA～Dの部分の数を調整すればいいことが分かります。



ここで、→の左側には炭素原子が1つ、右側にも炭素原子が1つですから、AとCが1であるとしましょう。

Aが1だとすると→の左側には水素原子が4個あるので、右側にも水素原子が4個必要です。

よって水の部分のDは2となりそうです。



ここまでを整理すると







となります。

→の右側には、酸素原子の粒が4個なので、Bを2とすれば、→左側の酸素原子も4個となり、→の前後で原子の数が

そろうので、これが解答となります。







(2)(1)で作った図式に実際の数字を当てはめてみると。







となります。→の前後で重さが変わっていないことが確かめられました。

さて、メタンガスは64ｇですから、上の図式が4つ分あることがわかります。

よって必要な酸素の重さは



64×4＝256ｇ



ですね。酸素の重さは空気の20％ですから、求める空気の重さは



256ｇ÷0.2＝1280ｇ　となります。





知っている大人にとっては何の変哲もない化学式の問題ですが、それを知らないお子様にとって、入試でこの問題をみたら面食らうかもしれません。そういうときこそ慌てずにリード文や図をしっかり読み、情報を整理していくことが必要です。読解力と現場での思考力・作業する力が要求されますが、しっかりそれができれば、4年生でも(％の概念を知っていれば)きちんと正解にたどりつける良問です。

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　分子が１の足し算に分ける【対象学年：5年生以上】





1）次の説明文の□にはいる数字を答えなさい。



3÷5　＝　　と表すことができます。

この　　を分子が１になるたし算で表すためには次のように考えます。



３÷５は３つのものを５つにわけるという意味があります。

3つのケーキを5人（A・B・C・D・E）で分けることを考えると１こずつとることはできません。

なので、半分にして1つずつとっていくと考えます。

まずは、1人が　　とったことになります。

次にのこりのケーキを5人でわけると考えます。

このとき1人がとった大きさはケーキ１この大きさを　　こに分けた１つぶんなので　　となります。

よって、
　＝　　＋　　となります。

（2）4÷5の答えを分子が１の分数になる分数のたし算で答えなさい。

　誘導をよく読みましょう。

(1)10


（2）

（1）の部分が間違えやすいところです。単純に と答えてしまいそうですが、このときとった大きさはケーキ１こを10こに分けた１つ分であることに注意することが必要です。





（2）
（1）の考え方でやってみると下のような図になります。



のこりを分ける



さらにのこりをわける





ひとり分をあわせていくと上から順に　　となります。

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