学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　2010年度入試シリーズ　(3)麻布中学校【理科】より

　みなさんの身のまわりにある物質は、とても小さな原子という粒からできています。また物質によっては、いくつかの原子がくっついてできた分子という粒が集まってできているものもあります。
　原子の種類はたった100種類くらいしかないのに、身のまわりにはきわめてたくさんの種類の分子があります。これはなぜでしょうか。
　そのようなことを考えるモデルとして、図１の玉を「原子」と考え、それらが結びついてできるものを「分子」と考えることにします。

　これらの玉の形はいずれも球で、同じ種類の玉はすべて同じ大きさです。２と３と４はほぼ同じ大きさですが、それに比べて、１の大きさは他の玉よりかなり小さなものとします。そして、それぞれの玉にかかれた数字は、その玉と接する玉の個数を表し、その数より多くなることも少なくなることもありません。

（問題文以下省略）

　４個の玉すべてが、３個の玉とくっつけばよいのです。

　３個をくっつけて正三角形をつくり、その上に１個をのせた形（正四面体）。

　それぞれの玉から手が３本ずつ出ていて、それらが握手をすると考えてみましょう。
　まず、２つの玉が３本ずつ握手をしてしまうと、残りの玉がくっつくことができません。そして、３つの玉をくっつける際に、下の図のように１列（Ｌ字も結局同じことです）にくっつけてしまうと、手が５本あまり、残りの１つの玉とちょうどくっつけることはできません。

　そこで、３つの玉を輪のように（実際は正三角形型）くっつけてみると、ちょうど手が３本あまることがわかります。この状態で残りの１つをくっつければよいのです。

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　2010年度入試シリーズ　(2)早稲田中学校【理科】より

　最近、発光ダイオード（ＬＥＤ）という明かりがいろいろなところで使われるようになってきた。
ＬＥＤにはつなぐ向きがあって、図１（ａ）のように正しい向き（順方向）につなぐと電流が流れて光るが、図１（ｂ）のように逆向き（逆方向）につなぐと電流が流れずに光らない、という性質を持つ。

　いま、図１（ａ）と（ｃ）のようにＬＥＤと豆電球をそれぞれ同じ電池につないだところ、ほぼ同じ明るさで光った。豆電球をつないだときに回路に流れる電流は200mAであった。
　次に、図２のようにこれらの豆電球とＬＥＤを並列につないで、先ほどの電池につないだ。このとき電流計は220mAを示した。

問１　図２のように並列につないだ場合、ＬＥＤと豆電球の明るさはどうなるか。以下から選び、記号で答えよ。
　　ア　豆電球のほうが明るい　　イ　ＬＥＤのほうが明るい　　ウ　ほぼ同じ明るさである

　　電流の基本です。

　ウ

　ＬＥＤの問題は、中学入試理科の常連となったと言っても過言ではありません。
それほど近年毎年出題されていますが、それらの多くは「順方向・逆方向のつなぎ方による回路作り」でした。電流が流れる道をきちんと精査し、つなぎ方を条件に合うように変えるものですが、本問は一風変わった出題となっています。
豆電球の学習における「電流が大きいほうが明るい」という常識からはなれることができなければ、受験生も混乱してしまったのではないでしょうか。

　まず、図１の（ａ）と（ｃ）から、乾電池１個分の電圧をかけることでほぼ同じ明るさで光ることがわかります。
図２のように並列につないだ場合にも、豆電球とＬＥＤにはそれぞれ乾電池１個分の電圧がかかることに変わりはありませんから、当然ほぼ同じ明るさで光ります。

　しかし、問題文の「次に、・・・」以降によって、混乱させられた受験生は多いはずです。図２の電流計は220mAを示しています。豆電球のほうには200mAの電流が流れているはずですから、ＬＥＤのほうには20mAしか電流が流れていません。ということはＬＥＤのほうが暗い・・・？という混乱です。電流の大きさで明るさを比べる習慣があると、逆に混乱してしまうでしょう。並列回路だから、かかる電圧が等しいという「電流の基本」が問われています。

※ちなみに、ＬＥＤは小さな電流で明るく光ることができる装置です。

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　2010年度入試シリーズ　(1)桐朋中学校【算数】より

　ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分３人ずつの割合で人が加わります。午前10時に１つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に２つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

　　ニュートン算の基本です。

　10時24分

　非常に基本的なニュートン算ですが、前回ニュートン算が表で解けることを紹介したので、せっかくですから入試問題を表で解いてみましょう。
まず、並んでいる180人をなくすわけですから、
全体の仕事の量が180であると考えられます。
窓口が１つの場合80分で仕事が終わり（行列がなくなり）ますが、毎分３人ずつ並んできてしまうため、
能力（１分でこなせる仕事）は３減らされてしまいます。これらを、表に整理すると下の黒字ようになります。

　これより、実際の能力（仕事の速さ）は180÷80＝2.25となり、はじめの能力は5.25とわかります。窓口１つの能力が5.25ですから、窓口２つのときのはじめの能力は5.25×２＝10.5です。よって、窓口２つのときの実際の能力は10.5－３＝7.5ですから、これを表の中にうめていくと、上の青字になります。
　以上より、求める時間は180÷7.5＝24となり、開始が10時なので10時24分となります（赤字）。

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「ニュートン算＝倍数算＋仕事算」と、気づいていますか？

　ある牧草地で、牛10頭を放しておくと10日で草を食べつくしてしまいます。また、この牧草地で、牛12頭を放しておくと８日で草を食べつくしてしまいます。
では、この牧草地で、牛18頭を放しておくと草をたべつくすのに何日かかりますか。
ただし、この牧草地は一定の割合で草が生え続けています。

　増加と減少が同時に起こる、いわゆるニュートン算です。

５日

　　さて、ニュートン算が難しいと感じられる点はどこでしょうか・・・？

それは、「増加と減少が同時に起きている」という点に加え「増加と減少のうち一方は個数に比例するものの、他方は個数に関係なく絶えず一定である」という点に他なりません。

その点を単純化してある問題が、いわゆる仕事算です。

「12人ですると６日で終わる仕事を８人ですると何日か？」
実際に行う仕事は人数に比例しますから、１人で１日にする仕事の量を１とすれば、全体の仕事量は12×６＝72となり、これを８人で行うので72÷８＝９日とわかります。

　しかし、ここで絶えずこの仕事が１日に増えていくことを考えます。

例えば、仕事を行う人数に関係なく、毎日仕事が２ずつ増えていくとしましょう。
すると、12人では１日に12の仕事を行いますが、２だけ増えてしまうので結果として12－２＝10しか仕事をすることができません。
また、８人の場合も同様に１日あたり８－２＝６しか仕事をすることができなくなってしまうのです。
これにより、実際に12人で行う仕事の量は（12－２）×６＝60となり、これを８人で行うとすれば60÷（８－２）＝10日となるのです。

このように、一見複雑そうなニュートン算ですが、仕事算のように表に整理してみると簡単です。上３段が能力（仕事の速さ）の変化についての倍数算、そして下３段が実際の能力での仕事算となっているのです。

では、ニュートン算の仕組みがわかったところで、本題を解いてみましょう。
まず、表に整理すると下のようになります。

同じ仕事（草を食べること）をするのに、10日と８日かかっているわけですから、実際の【の】はその逆比となり４：５であることがわかります。これにより、はじめに10：12だった能力が、同じ分だけ減って４：５になっているので、一定である差で比をそろえます。これにより、牛１頭あたりの能力が１で、変化が－２であることがわかります。

全体の仕事が８×10＝80とわかるので、同じようにして牛18頭の場合を考えてみます。実際の能力は18－２＝16となり、80÷16＝５日と求められます。

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循環小数

　次のように、小数で表すと無限に続いてしまう小数を「無限小数」といいます。

　特に、同じ数字のかたまりがくり返しあらわれるものは「循環小数」といい、くり返しの部分のはじめとおわりに・をつけて表します（１つの数字がくり返される場合は・１つです）。

　これをもとに、循環小数0.4343434343434343・・・・・を分数で表しなさい。

　無限に続く部分を「消す」必要がありますね。

　まず、無限に続く小数部分を消去するために、くり返しあらわれる周期を利用します。

　これより、差をとることで小数部分が消え、99×Ａ＝43と表せるのです。

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よく読んでください。（2010年・開智中先端Ａ改題）

　　100kg集めたほこりと、100kg分の鉄は、どちらが重いですか。
次のア～エから選び、記号で答えなさい。

　ア．ほこり
　イ．鉄
　ウ．どちらも同じ
　エ．これだけでは比べることはできない

　ありません。

　ウ

　100kg分のほこりを集めたら、鉄に比べて相当な量になりますね。
しかし、どちらも100kgですから、重さは同じです。（体積は異なります）

　体積と重さに関する問題は、理科では頻出です。
特に、状態変化（固体、液体、気体の変化）の間では、重さは一定で体積のみ変化することから、同じ体積で重さを比べることが多々あります。このように、１立方cmあたりの重さを「密度」とよび、これに関する内容が開智中で出題されました。

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意外に知られていない問題です。

　地球上にある海水は、太陽や月の引力などの影響を受けて移動します。
これにより、潮の満ち干が生じ、１日の中で同じ地点にもかかわらず海水面の高さが変化するのです。

下の図は、太陽と月が一直線にならんだときのようすを表しています。太陽と月の引力の影響だけを考えると、この図のように１日のなかで潮の満ち干は１回しかありませんが、実際は２回あります。その理由として最も適当なものを、次のア～エから選びなさい。

ア．海では波が起こるため、潮が満ちたり干いたりするから。
イ．海底には浅い部分と深い部分があるため、海水面の高さが変わるから。
ウ．温度の変化により、海水の体積が変化するから。
エ．地球にはたらく遠心力により、海水が移動するから。

　ありません。

　エ

　消去法で処理が可能です。

　ア．波で満ち干するのであれば、１日に数え切れないほどの回数だけ満ち干が起きてしまいます。

　イ．海底の深さが異なっても、水面の高さには影響ありません。海底の深さが深いところほど海も深くなるだけです。

　ウ．温度の変化による水の体積変化は、微々たるものでしかありません。これにより、海水面の高さが数センチも変化するとは考えにくいですし、たとえ変化があったとしても問題の図で満ちている部分が（太陽であたためられるので）より盛り上がるだけです。

　これより、答えはエとなります。地球にはたらく遠心力によって、問題の図で満ちている部分の反対側にも海水が移動し、下の図のようになるのです。

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正確に場合が分けられますか？

　あるクラスで、代表者１人と、書記２人（男子１人、女子１人）を選ぶことになりました。立候補したのは、男子４人と女子３人です。このとき、選び方は全部で何通りありますか。

　積の法則・和の法則を正しく使い分けます。

　60通り

　代表者を選ぶのは７通り、書記男子を選ぶのは４通り、書記女子を選ぶのは３通りなので、７×４×３＝84通りとするのはＮＧです。
　まず、代表者を１人選んだ段階で、書記になれる男子、女子は４人、３人いません。

　次に、このような誤答です。
　代表者を選ぶのは７通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子も候補を１人減らして２通りなので、７×３×２＝42通り。
　代表者を１人だけ選ぶのに、書記の男子、女子ともに１人減ることはありません。

　さらに、次のような誤答も考えられます。
　代表者を選ぶのは７通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子は候補を減らしていないので３通りとなり、７×３×３＝63通り。
　これでは、代表者が男子と決められています。よって、代表者を選ぶときに７通りも考えられません。
　また、男子ではなく女子を減らした７×４×２＝56通りも、同様な誤りです。

　つまり、代表者を任意の７通りにした場合、それが男子なのか女子なのかで、その後の書記の選び方が変わってきます。

　よって、まず代表者を男子にするか女子にするかで場合を分けて考える必要があるのです。

１）代表者が男子の場合
　代表者（男）を選ぶのは４通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子は候補者を減らしていないので３通りとなり、４×３×３＝36通りとなります。
２）代表者が女子の場合
　代表者（女）を選ぶのは３通り、書記男子は候補を減らしていないので４通り、書記女子は候補を１人減らしているので２通りとなり、３×４×２＝24通りとなります。
　これより、36＋24＝60通りとなります。

　ちなみに、男子も女子も選ばれる可能性のある代表者を先に選ぶと、このように場合分けが必要になりますが、以下のように男子、女子が決められている書記から選ぶことで、場合分けは不要になります。
　書記男子を選ぶのは４通り、書記女子を選ぶのは３通り、代表者は候補を２人減らして５通りなので、４×３×５＝60通りとなります。

　きちんと場合分けをするか、場合分けのないように工夫するか、これはどちらがよいという訳ではありません。その状況に応じて、処理をしていくことが大切です。
　※特に、場合分けをしなければ「おかしい」「何か変だ」「気持ち悪い」という感覚をもてるかどうかが重要です。

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与えられた情報から、必要なものを見抜けますか？

　下の図は、ある晴れた日の１日の気温・地温の変化と、太陽高度の変化を示したものです。地面は、太陽からの熱を受けてあたためられる（熱の吸収）と同時に、空気中へ熱を逃がしています（熱の放射）。空気は、この地面の熱の放射によってあたためられています。

太陽から放射された熱について地面が吸収する熱をＸ、地面が放射する熱をＹとすると、12時、13時、14時のそれぞれで、ＸとＹの関係はどのようになっていますか。次のア～ウからそれぞれ選びなさい。

　ア．Ｘの方がＹよりも大きい
　イ．ＸとＹが等しい
　ウ．Ｘの方がＹよりも小さい

　どのグラフに注目すればよいのでしょうか。

　12時・・・ア　13時・・・イ　14時・・・ウ

　まず、ＸとＹが何についての情報なのかを確認しましょう。
これらは地面が吸収・放射する熱ですから、地面の温度に注目すればよいのです。ちなみに、それぞれの選択肢を考えてみると、

ア．Ｘの方がＹより大きい場合、放射する熱以上に吸収するわけですから、地面の温度は上昇していくはずです。

イ．ＸとＹが等しくなった場合、放射する熱と吸収する熱が等しいわけですから、地面の温度は上がりも下がりもしないはずです。

ウ．Ｘの方がＹより小さい場合、吸収する熱以上に放射するわけですから、地面の温度は下降していくはずです。

　このように、与えられた３つのグラフのうち、どれに注目すればよいのかがわかれば簡単な問題ですね。

　では、ここで問題です。
　「Ｘが最も大きくなるのは、何時ごろとわかりますか。」
　どのグラフに注目すればよいのか、考えてみて下さい。

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慎重さは大切にしたいものです。

　ある草野球チームは、昨年の夏の野球大会のときにメンバーは全部で56人で、平均の年令は28才でした。今年は、夏の野球大会までに新しく８人のメンバーが加わりましたが、平均の年令は28才のままでした。新しく入った８人のメンバーの平均の年令は何才ですか。

　あえて、なしにします。

　21才

　平均が変わらないわけですから、あとから入った８人のメンバーの平均も28才では？と、思いがちですが、実はそうではありません。

　昨年からいたメンバーは、今年１才年をとっていますから、平均29才の56人に、新しく８人が加わって平均28才にしなければならないのです。

　よって、今年のメンバー全員の年令の合計は64×28＝1792才です。このうち、昨年からいたメンバーの年令の合計は56×29＝1624才ですから、新しく入った８人の合計は168才とわかります。
これより、168÷８＝21才となります。

　平均に対して瞬時に反応できた方が、逆に誤答を導きやすい問題といえるでしょう。何よりも慎重さが大切だというメッセージが隠れた問題です。

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