学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

太さが一様な棒でも、面白い問題が存在します。

　太さ（直径）12cm、長さ２ｍの棒があります。この棒は太さは一様ですが、いろいろなものをまぜて作ったため、重心が棒の中心ではありません。重心の位置を探すためにいろいろな位置をばねばかりでつるしたところ、図１のように右はしから80cmのところで棒が水平になってつりあいました。このとき、ばねばかりは1680ｇを示していました。

　この棒の重心から左へ70cmはなれたところに、ある重さのおもりをぶらさげたところ、図２のように棒が30度かたむいて静止しました。このとき、おもりは何ｇですか。

　おもりの力、ばねばかりが持ち上げる力のほかに、どのような力がありますか？

　72ｇ

　まず、図１でばねばかりをつけた位置を点Ｐとします。このとき水平につりあっていることから、この棒の重心は棒の右はしから80cmのところにあり、この棒の重さは1680ｇであることがわかります。
ここで、注意しなければならないのは「重心は点Ｐではない」ということです。この棒には一様な太さがありますから、重心は点Ｐから６cm（直径12cmの半分）下にあることになります。

　図２のように、棒を点Ｐを中心に回転させると下の図のように重心の位置が点Ｐの真下ではなく、右側にずれてしまいます。これにより、点Ｐよりも左側におもりをぶら下げることで再度つりあわせることができたのです。

　ここまでわかれば、あとは単純なてこの計算です。重心が右にずれたきょりは、６cm÷２＝３cmですから、点Ｐを支点とすればおもりと重心までのうでの長さ（水平きょり）は70：３となります。
よって、力はこの逆比で３：70ですから、おもりの重さは1680ｇ÷70×３＝72ｇです。

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一瞬のできごとに、ごまかされてはいけません。

　机の上に10円玉と500円玉を置き、それぞれを衝突させる実験を行いました。
［実験１］図１
　１枚の10円玉（Ａ）を机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｂ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｂはその場に静止し、Ａは左へ動き出した。
［実験２］図２
　１枚の500円玉（Ｃ）を机の上に静止させておき、１枚の10円玉（Ｄ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｃは左へ動き出し、Ｄは右へ動き出した。

　これをもとに、下の図３のように１枚の500円玉（Ｘ）と１枚の10円玉（Ｙ）を一列にならべて机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｚ）を指ではじいて右からＹに衝突させると、どのように見えますか。次のア～エから選びなさい。

ア．Ｚが、ＸとＹをはじき飛ばしたように見える。
イ．Ｙが、ＸとＺをはじき飛ばしたように見える。
ウ．ＸとＹにより、Ｚがはじき飛ばされたように見える。
エ．Ｘにより、ＹとＺがはじき飛ばされたように見える。

　一瞬ですが、全部で３回の衝突が起こっています。

　イ

　まず、はじめの衝突はＹとＺです。

実験１の結果より、衝突後Ｚはその場で静止し、Ｙは左に動き出すことになります。
しかし、左にはＸがいるので、ここでＸとＹが衝突します。
これが２回目の衝突です。

実験２の結果より、衝突後Ｘは左へ動き出し、Ｙは右へ動き出します。
しかし、Ｙの右にははじめの衝突で静止したＺがいるので、ここでＹとＺが再び衝突します。
これが３回目の衝突です。

実験１の結果より、衝突後Ｙはその場で静止し、Ｚは右へ動き出すことになります。

　これが実際には一瞬で起こるわけですから、ＺがＸをはじき飛ばし、さらにＺ自身が後退していくように見えますね。まるでＹがＸとＺをはじき飛ばしたかのように。

　さて、実際に衝突した状態を想像してみることも大切ですが、それは経験がないとなかなか難しいでしょう。この問題では、たった一瞬の衝突であっても、その間に３回の衝突が起こっており、それらがすべて実験の結果で説明できるところがポイントです。

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投影図が見えていますか。

　下の図１のような正四角すいを正面から見ると図２のように見えました。
この正四角すいの表面積を求めなさい。

　底面と側面の形を正しく認識しましょう。

　360平方cm

　表面は、底面と側面からできていますので、それぞれを求めます。

［底面積］
　正四角すいですから、１辺が10cmの正方形です。よって10×10＝100平方cmとなります。

［側面積］
　二等辺三角形ですが、高さは12cmではありません。
正面から見た図ですから、これは影の形と考えることができます。
つまり、12cmはこの正四角すいの高さであり、側面である二等辺三角形の高さは13cmとわかります。
この二等辺三角形が４つあるので、10×13÷２×４＝260平方cmとなります。
　
　以上より、表面積は、100＋260＝360平方cmとなります。

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１つの単純なゲームです。

　下の図のように、あるクラスの32人の生徒が並んでいます。
いま、前後左右の隣にいる人（斜めはなし）と手をつないで、全員で大きな輪をつくることにします。
ただし、全員２本とも手をつなぎ、同じところで３人以上が手をつなぐことはありません。
このとき、どのように手をつないだらよいですか。

　誰と手をつなぐかが明らかな生徒に注目しましょう。

　簡単にするために、下の図のようにア～ミの32個の点を線で結ぶと考えます。
　ちなみに、与えられた条件から線が「交わる」「枝分かれする」「行き止まりになる」ということは避けなければなりません。このルールを守って、それぞれの点を隣り合う２点とうまく結んでいけばよいのです。

　まず、ア、イ、ウ、オ、ト、ノ、ヒ、フ、マ、ミの10点は、隣り合う点が２点しかないため、必然とつなぐ点がわかります（青）。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（緑）。
　・カはキと結ぶことができないので、シと結ぶしかありません。
　・ヌはネと結ぶことができないので、ツと結ぶしかありません。
　・ヘはホと結ぶことができないので、ネと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（黄）。
　・テはネと結ぶことができないので、ス、ツと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（オレンジ）。
　・シはツと結ぶことができないので、スと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（ピンク）。
　・キはカ、スと結ぶことができないので、クと結ぶしかありません。

　ここまでくれば、あとは１つの輪になるようすが見えてくるはずです。それを結びます（紫）。
　・ク－セ－ソ、ケ－コ－タ－ナ、サ－チ－ニでできあがりです。

　ただいたずらに調べていくのではなく、このように「これしかありえない」という限られた条件部分を探すことは大切です。

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　複雑な回路を流れる電流

　下の図のように、豆電球３つと乾電池２つとスイッチ３つを使って回路をつくりました。いま、Ａ～Ｃのスイッチはどれも入っていませんが、アとウの豆電球が光っていました。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) Ａのスイッチだけを入れると、ア～ウのうちどの豆電球が光りますか。

(2) すべてのスイッチを入れると、ア～ウのうちどの豆電球が光りますか。

　電流の気持ちになってください。

(1) ア、イ、ウ
(2) イ、ウ

　まず、電流が流れるルールを確認しましょう。
豆電球は電気抵抗なので、豆電球が多ければ多いほど電流は流れにくくなります。特に、豆電球を並列につないだ場合、それぞれを流れる電流の大きさは豆電球の個数の逆比になります。

　たとえば、豆電球１個と２個を並列（道が分かれている状態）につないだ場合、流れる電流は２：１となるのです。
このことから、下の図のように、もしも分かれた道の一方に豆電球がなかった場合、豆電球のある方へ流れる電流が０となり、すべての電流が豆電球のない道を選んで流れることになります。

　このように、複数のスイッチや並列部分をふくむ複雑な回路では、どこを電流が流れるのか（どこを電流が流れないのか）をきちんと調べることが重要です。この際にポイントとなるのが「道が分かれたら再び合流する位置を探し、それぞれの道で豆電球がない道があればそこしか電流は流れない」ということです。

(1) まず、説明のために、図１のように各地点を「あ」～「お」とします。
電池を出た電流は「あ」で道が分かれます。このとき、「い」へ向かう電流と「え」へ向かう電流が合流する地点は「お」しかありません。
このとき、どちらの道にも豆電球があるので、どちらも流れることになります（流れる電流の大きさの比は、１：２ですね）。

(2) 図１と同様に「あ」～「お」とします。電池を出た電流は「あ」で道が分かれます。
このとき、「い」と「う」と「え」に向かって電流が流れていきます。
ここで、次の３つの場合を考えてみましょう。

１．「い」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。
２．「う」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。
３．「え」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。

　よって、どこで合流するにせよ、「あ－い」の間を通らなくてすむ道があるので、「い」に向かっては流れないことがわかります。
「う」と「え」に分かれて流れた電流は、このあと「お」で合流することになりますが、この場合どちらも豆電球があるのでどちらにも流れることになります。

では、スイッチＡとＢのみを入れた場合はどうなるでしょう？
ぜひ、考えてみてください。

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　星の動きを正しく理解していますか？

　地球上の１点から月を数日間観察すると、月は満ち欠けしながら地平線からのぼったりしずんだりしています。
では、月の１点から地球を数日間観察すると、どのように見えますか。
次のア～オから選び、記号で答えなさい。

ア．地球は満ち欠けをせずに、いつも同じ方向に見える。
イ．地球は満ち欠けをしながら、いつも同じ方向に見える。
ウ．地球は満ち欠けをせずに、月の地平線からのぼったりしずんだりしている。
エ．地球は満ち欠けをしながら、月の地平線からのぼったりしずんだりしている。
オ．特にきまりはなく、見えるときと見えないときがある。

　地球の動き、月の動きを整理してみましょう。

イ

　まず、満ち欠けについて考えてみます。
地球も自ら光り輝く星ではないため、太陽の光で照らされた部分のみが見えることになります（月の満ち欠けと同じ原理です）。

　 例えば、下の図のＡの月から地球を見れば、丸く光り輝いて見えることがわかります（月で言えば満月です）。
また、Ｃの月から見れば左半分が光り輝いて見えることがわかります（月で言えば下弦の月です）。
このように、月の公転によって、地球も満ち欠けをしていくことがわかります。

　続いて、地球が見える方向について考えてみます。
月は、およそ27.3日で公転しつつ、同じく27.3日で自転しています。 これにより、月がいつも地球に同じ面を向けているということは有名事実でしょう。
ですから、地球から見る月の模様は、いつも同じなのです。

これを、逆に月の立場で考えてみると、答えは簡単です。
月はいつも地球の方を向いているわけですから、月の地平線からのぼったりしずんだりすることなく、いつも同じ方向に見えるのです。
（もちろん、月の裏側から観察したら全く見ることはできませんが・・・）

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　周期がわかれば、世界が広がります。

　大きさのちがう砂時計Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａの砂時計は、砂が全部落ちるまでに３分かかり、Ｂ、Ｃはそれぞれ５分、８分かかります。
　いま、砂が全部落ちた状態のＡ、Ｂ、Ｃを並べて同時にひっくり返し、それぞれ砂が全部落ちるたびにすぐにひっくり返すことを繰り返します。ただし、Ａだけは全部砂が落ちたときに限らず、Ｂ、Ｃをそれぞれひっくり返すたびに一緒にひっくり返すことにします。
　スタートのひっくり返しは数えないものとして、１時間の間にＡは何回ひっくり返されますか。

　繰り返すのですから・・・？

36回

　まず、ある操作を繰り返すわけですから、必ず周期があるはずです。その周期が見つかるまで、とりあえず書き出してみます。
　しかし、ここで注意しなければならないのは、ＢとＣの単純な周期に比べ、Ａはかなり複雑です。例えば、１分だけ砂を落とした状態でひっくり返すと、再び１分で砂は落ちきってしまいます（図）。例えば、下の表で３分のときにひっくり返ったＡが５分のときにＢと同時にひっくり返るため、２分ぶんの砂が落ちています。よって、このＡをひっくり返すことでＡはまた２分後（つまり７分のとき）に砂が全部落ちてひっくり返ることになることを表しています。これにしたがって、ていねいに表をつくっていけば、40分の周期で繰り返されることがわかります。
　40分の間にＡがひっくり返るのは24回あり、残りの20分の間に12回ありますから、全部で36回となります。

　このように、周期がわかることでその先は調べることなく求めることができます。例えば、１日（24時間）砂時計をひっくり返し続けた場合、1440分÷40分＝36ですから、24回×36＝864回と計算で求めることができるのです。
　調べ上げる問題で周期を見つけることは、とても重要なスキルといえるでしょう。

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　円周率は、3.14でしょうか？

　下の図のように、１辺が５cmの正方形の画用紙に、半径５cmの四分円（円を４等分したもの）を書き、アとイの部分に分けました。
この画用紙に、でたらめに100個の砂の粒（大きさはどれも同じ）をまいたところ、アの中には22個、イの中には78個ありました。また、四分円の線の上には砂の粒はありませんでした。
　これについて、次の問いに答えなさい。

(1) このことから、イの面積は何平方cmであるとわかりますか。

(2) このことからわかる円周率は、いくつですか。

　広いほど、砂はたくさん入ります。

(1) 19.5平方cm
(2) 3.12

　まず、でたらめに100個の砂の粒をまいているので、これらは均等に散らばっていると考えることができます。
つまり、２倍の広さがあれば２倍の個数の砂が入るということですから、面積と砂の個数が比例することがわかります。
　ここで、正方形の中の100個の砂の粒のうち、イの部分には78個入っているので、正方形の面積の78/100倍がイの面積になります。

　また、このときの円周率を□とすると、下の式から□＝3.12と求められます。

　さて、円周率はよく3.14が用いられますが、これは本当の値ではありません。
円周率は無限に続く小数で、計算で扱うのが不便であることから、
近似値（近い値）として3.14を使っているにすぎないのです。

例えば、入試問題を見ても「円周率を３で計算しなさい」や「円周率を3.1とする」などがあるのはそのためです。
よく注意しましょう。

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　概算で見当をつける習慣はありますか？

　厚さが0.1㎜の紙を1回折ると厚さは0.2㎜、2回折ると厚さは0.4㎜になります。この紙は何回も折ることができるものとして、30回折ると厚さはどれくらいになりますか。次の中から最も近いものを選びなさい。
　　ア．1m
　　イ．10m
　　ウ．100m
　　エ．1km
　　オ．10km
　　カ．100km
　　キ．1000km
　　ク．10000km

　きまりにしたがって計算していくだけです。

カ．100km

一度折ることで、厚さは倍になります。これを繰り返すわけですから、単にどんどん2倍していけばよいのです。
　ここで、30回折るということは、「2倍」を30回続ければよいのです。

　しかし、ここで注意が必要です。「×2」が30個集まると「×60」にはなりません。どんどん2倍していくわけですから、2倍、4倍、8倍、16倍、32倍、64倍、128倍・・・というようになっていきます。これを30回繰り返すことで、答えにたどり着きます。

　ただ、これでは計算がかなり大変ですし、とんでもなく大きな数になることは容易に想像がつくでしょう。
この問題では、キリのよい選択肢から最も近いものを選ぶだけですから、大体の感覚がつかめればよいのです。
そこで、2を10回かけ合わせると1024になる（この知識を持っていなかったとしても、10回くらいまでなら簡単に調べられます）ことから、これをおよそ1000と考えて、以下のように計算できます。

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　合わせ鏡の公式

　図のように、２枚の鏡をある角度で合わせ、中央にろうそくを置いたときにいくつの像ができるかを調べたところ、結果は表のようになりました。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 表の結果から、できる像の個数は次のような式で求めることができます。次の式の空欄に、あてはまる数を答えなさい。

(2) 鏡の角度が30度のとき、像は何個できますか。

　ありません。

(1) ア　360　　イ　１
(2) 11個

　１つの例として、90度の場合を考えてみます。
下の図のように、２枚の鏡をＡ、Ｂとすると、Ａに映ったＢ、Ｂに映ったＡというようにして、新しく鏡Ｃ、Ｄができたと考えることができます。
これにより、鏡Ａ、Ｂでできた像が、鏡ＣやＤでもできるので、その像の個数を考える必要があります。

　この場合、はじめの鏡の角度が90度であることから、下の図のように360÷90＝４で、鏡や鏡の像によって４つの場所に区切られます。
ここにそれぞれ像ができますが、その場所のうち１つは実際の物体（ろうそく）がいることになるので、像は４－１＝３個となるのです。

　同じようにして、例えば鏡の角度が60度の場合、360÷60＝６で、鏡や鏡の像によって６つの場所に区切られます。
このうち１つは実際の物体（ろうそく）がいることになるので、像は６－１＝５個となるのです。

　つまり、合わせ鏡による像の個数は「360度÷鏡の角度－１」で求められるのです。

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