学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　すき間。





　次の図のように、高さがすべて20ｍで間に幅１ｍの道があるビルが４つあります。
この４つのビルを合わせた体積は、何立方メートルになりますか。

　底面積を正しく求めましょう。

　3020立方ｍ

　一見、底面積が10ｍ×16ｍの長方形になるように見えますが、実際に合わせてみると下の図のようにすき間ができます。
これより、底面積は10ｍ×16ｍ－９ｍ×１ｍ＝151平方ｍとなるので、求める体積は151平方ｍ×20ｍ＝3020立方ｍとなります。

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　「頂点決めの公式」

　図１は、ある立方体をＢ、Ｄ、Ｇを通る平面で切ったときの切り口を表したものです。また、図２は、この立方体を切る前に展開したときの図です。図２の中に図１の切り口を書き入れるとどのようになりますか。

ありません。

　図１に表された切り口は、面ＡＢＣＤ、面ＢＦＧＣ、面ＣＧＨＤの３つの面にあります。よって、図２の展開図に頂点を書き込んでいけばよいのです。頂点の決定のしかたには色々な方法がありますが、今回は「最も遠い２点」に注目してみます。
　たとえば、Ａから最も遠い点はＧです。ＡからＧへ隣り合う２つの面上を通って最短の道のりでいく場合、隣り合う２つの面を通る必要があります。これらを展開してみると、下の図のようになります。

このように、立方体で最も遠い２点は、隣り合う２つの面を合わせた長方形でも最も遠い２つの点となるのです。これが、頂点決めの公式です。
　最も遠い２点の組み合わせはＡ－Ｇ、Ｂ－Ｈ、Ｃ－Ｅ、Ｄ－Ｆですから、下の展開図で青い長方形に注目するとＡから最も遠い右上の点がＧ、Ｄから最も遠い右下の点がＦと決められます。また、緑の長方形に注目すると、ＧとＣが決められます。このようにして、隣り合う２つの面を合わせて考えると、ゲーム感覚（敵を探すように）ですべての頂点を決めることができます。

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立体図形の問題を解くための大切な基本姿勢が問われます。

下の図1のような円柱の容器に、半径3cmの球を下の図のように2つ入れたところ、円柱の底から球の一番上までの高さが8cmとなった。そのままさらに球を入れていったところ、円柱の一番上のところで7個の球がちょうどおさまった。この円柱の高さを求めよ。




見方を変えてみましょう。

下の図1のように断面図で考えると中心から中心までの高さが2cmであることがわかる。
よって図2のように考えると求める高さは

図1　図2


　

3cm+2cm×6+3cm＝18cm

答え：18ｃｍ

見慣れない球という設定ですが、立体図形の基本は平面図形への分解です。
上から、横からなどに情報を分け、身近な平面図形として処理します。
難問としては、平面に落とし込んだあとに合同、相似などの平面図形の技術が要求されるものがあります。
立体図のままでは、合同、相似、補助線などの平面図形の知識を思いつき、活用することはとても難しいので、面倒でも平面図を書きおこすことが大切です。

駒場東邦中より。複雑な立体切断を基本定理に落とし込みます。

下の図のように1辺の長さ2ｃｍの立方体を4個はり合わせてできた立体を考えます。この立体を3つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃを通る平面で切断しました。

（１） 上の図に切り口の図形を書き入れなさい。

（２）（３）省略

(駒場東邦中)

切り口のラインの中で、明らかなものからひとつずつ描いて行きましょう。

切断面は図のとおり

立体図形を平面で切断したときにできる 断面の切り口を求める問題では
基本のルールをしっかりと追っていくことが重要になります。

（基本ルール１）
切断面は必ず切断するように指定された点を通る
当たり前のように思えますが、一番大事なルールです。
今回の場合、これでまず頂点Aと頂点Bを結ぶ直線が結べます。

また、

（基本ルール２）
切断面は必ず連続している
も一見当然のように見えますが大切なルールです。

（基本ルール３）
向かい合う平行な平面の上を通る切り口は平行である
このルール２を使うと、ルール１と合わせて頂点Cから線分ABと平行につながる
切り口を描くことができます。

（基本ルール４）
切断する平面上の各点を結ぶ線上に、切断される立体の外壁が重なれば
そこは切り口である

ここまでくると、すこし立体的な想像力が必要となってきます。
ただ、最初の３つのルールに従って条件整理ができていれば
作業はずっと間楽になっているはずです。

ここで三角形ABCを考えてみると頂点Aと頂点Bから
斜めにのびる線分が引けます。
ここさえ書くことができれば残りの線は すべて最初の３つのルールから描くことができます。

～今回の問題より導かれる出題校からのメッセージ～
想像力の不足は論理の積み重ねで補うことが大切

算数の図形問題、とくに立体図形の問題はひらめきや立体的なイメージ力 が大切だと思われがちです。

しかし、今回の問題のように基本のルールをしっかりと守って きちんと条件整理をすることで 一見トリッキーに見える問題でもずっと簡単に解くことができます。

どんな算数の問題でも大事なのは基本的なルール。
一見難しそうに思える問題でもしっかりと条件を整理していけば 簡単な基本の組み合わせに分割できることを理解しましょう。

思い切った視点の切り替えが求められる問題です。

下の図のように４つの長方形と２つの台形からできた容器に水が 入っています。これにさらに水を注ぎ込んだところ、水面の高さは21cm上昇し、水面の面積は252平方センチメートルになりました。
（１）最初の水面の高さは何ｃｍですか。
（２）最初の水面の面積は何平方センチメートルですか。
（３）省略
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (大阪星光学院中）

「立体図形の問題」だということにとらわれると選択肢が狭まってしまいます。

（１）
下のように真横から見た形で平面図形として考えます。
alt="" style="height: 188px; width: 234px;">
水を増やす前の水面をFL、注ぎ足したあとの水面をEMとします。

求めるのはFB＝CGの長さです。

EMの長さは、252÷12＝21cm
AI＝EH＝FG＝BC=9cmなので
HMの長さは21－9＝12cm

ここで三角形CIDと三角形CHMの相似を考えると
ID：HM＝（30－9）：12＝7：4
よって
CI：CHも7：4
CI＝84cmなので
CH＝84×4/7＝48cm
GHは、水を注ぎ足したときの水面の上昇分なので問題文より21cm。
よってもとめるべきCGの長さは
48－21＝27cm
答え： 27cm

（２）
求めるべき面積は
FL×12で求めることが出来る。

ここで三角形LKMと三角形CIDの相似を考える。

LK：CI＝21：84＝1：4
よってKM：IDも1：4
ID＝21cmなので
KM＝21×1/4=5.25cm

よってEK＝FL＝EM－KM＝21－5.25＝15.75
故に求めるべき面積は
15.75×12＝189平方センチメートル
答え： 189平方センチメートル

面積を求める問題では、

「目で見て見当をつける」

という作業が大きな重要性を持っています。

相似、合同や二等辺三角形、正三角形の発見は、
大体の見当をつけて、確認作業をするというプロセスで
ほとんどの場合に対応しているといえるでしょう。

本問のように、立体上の面積を求める場合、
与えられる図は多くの場合が斜め上方からの描写になります。

こうして与えられた図形上において、
面積を求めるべき図形は、当然実際とは違った形で描かれます。

そのような状況では、合同や相似の活用など
「目で見て見当をつける」
ことを手がかりに進める解法を発見しづらいのは言うまでもありません。

面倒くさがらずに平面に落とし込む。

その図を見ると、
頭が平面図形モードに切り替わり
「補助線」「合同、相似」などへの感度が高まるのです。

～今 回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
場面に応じて最適な視点に切り替えることが大 事

今週の一問で何度も扱っている「単純なモデルへの変換」という思考技術ですが、

本問は「単純化」という効用だけでなく、

「見慣れた形式へと土俵を移す」

ことに大きな価値があります。

解説にもあるとおり、見たことのある風景の中では
武器を選択する判断力も格段に高まるのです。

初めての問題に対応するとき、
「今までに同じ問題に出会わなかったか」
と考えるパターン認識力をもつことは応用力の第一歩ですが、

単純に同じ問題を探すのではなく問題を分解して
「自分の知っている知識・技術を使える部分はどこか」
という思考でとっかかりをつかむという
高次のパターン認識力を持つことはさらに大きな武器になります。

その場その場で視点を切り替える柔軟性と思い切りの良さが問われる良問です。

市川中より。立体の問題ですが、求められるのは平面図形の高い分析能力です。

下の図は1辺4cmの立方体を点A、P、Qを通る平面と、点B、Q、Rを通る平面で切断し、2つの三角すいを切り取った立体です。この立体の表面積を求め な さい。ただし、点P、点Q、点Rはそれぞれ立方体の辺のちょうど真ん中の点です。

(市川中）

三角形PQAとQRBの面積がネックですね。直接求めることは出来ません。

表面積は

・底面と奥の正方形2枚（4×4）
・側面の台形2枚（上底2、下底4、高さ4）
・手前の三角形1枚（底辺4、高さ4）
・上部の五角形1枚（4×4の正方形から直角二等辺三角形2枚を切り取ったもの）
・切り口の三角形2枚

から構成されています。

底辺と高さが明らかでない切り口の三角形2枚の面積を求めます。
図は、立方体を真上から見た図です。

求めるべき切り口の三角形QRBと上部に作られる三角形QRCを比較する。

すると、
辺QRは二つの三角形に共通

QBとQCはともに正方形の一辺の中点から反対側の頂点に引かれた線であるため同じ長さ

RBとRCも同様

以上より三角形QRBと三角形QRCは、「3つの辺の長さが同じ」なので合同です。

もう1つの切り口の三角形PQAも同様。

よって切り口の2つの三角形の面積は、
上部に作られる三角形QRCの面積で代用します。

三角形QRCの面積は、

正方形（4×4）から直角三角形（2×4÷2）を2つと、
直角二等辺三角形（2×2÷2）

を1つ除いたものです。

よって面積は6平方センチメートル。

以上より

表面積は

底面と奥の正方形2枚：（4×4）×2枚＝32
側面の台形2枚：[（2＋4）×4÷2]×2枚＝24
手前の三角形1枚：4×4÷2＝8
上部の五角形1枚：4×4ー（2×2÷2）×2枚＝12
切り口の三角形2枚：6×2枚＝12

を合計して88平方センチメートル

答え：88平方センチメートル

昨年度の市川中の問題の中でも難問です。
切り口の三角形の面積については、誰もが着目し行き詰るでしょう。

ポイントは、

立体上の面積は、必ず平面にとらえなおすことです。

問題用紙に記載されている斜め上方からの図では、
感覚的にポイントとなる合同を見つけにくくなっています。

同じ長さの辺なども、そのような表記では違って見えるからです。

特に面積は相似、合同、比などの発見が突破口になります。
面倒くさがらずに面積問題として平面にする作業に取り組むことが大切です。

～今 回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
モデルの単純化が大切

立体ということで与えられた図だけを見ていても同様です。

そもそも立体であることは、
本問において惑わす要素にしかなっていません。

立体上の面積は、該当の部分を平面に書きおこすというのは定石ですが、
このように見た目に惑わされず本質のみを単純モデルとして考える思考法はとても大切です。

平面図形の面積の問題に取り組んでいるときは、
皆さん必ず相似合 同を考えるものですが、
立体上となるとと たんに頭の中から消えてしまうものなのです。

単純化することで、視界も広がり様々な方策が思い浮かびます。
トップクラスの生徒もこぞって受験する本校の最後の砦にふさわしい問題です。

合同に関しても三角形の合同条件がしっかり頭に入っていなければ
確信を持ちにくくしているところは、
平面に落とし込んだあとも確固たる力が求められる難問です。

女子学院中算数入試より。「複雑で身近なものに算数を使うための基本姿勢とは？」

1図のような、直方体と三角柱をつなげた形の五角柱の密閉された容器があり、下から15cmの 高さまで水が入っている。これをさかさまにして、水面と上の面が平行になるようにすると2図のようになる。

五角形ABCDの 面積を求めなさい。
(女子学院中）　　　

さぼらず、求めたい部分の図 形を書き出して見ましょう。

面 ABCDEを底面として考えると、
水の容積は、1図において底面はCDFG、高さは7cmとして考える
ことができ、2図においては底面ABHIE、高さは7cmとできる。

1図と2図で水の容積は同じ、高さはともに7cmであるから、
1図の底面である四角形CDFG（3図）と
2図の底面である五角形ABHIE（4図）
の面積は同じだということになる。

それゆえ、3図、4図の水と触れていない部分である
五角形ABGFEと
四角形HCDI
の面積も同じとなる。

よって求めるべき五角形ABCDEの面積は3図で考えると
五角形ABGFE＋四角形GCDF　となる。

五角形ABGFEの面積＝四角形HCDI＝7×8＝56　平方cm
四角形GCDF＝15×7＝105　平方cm
よって
五角形ABCDE＝56＋105＝161　平方cm
答え：161　平方cm

問題の図は、状況をすべて説明してくれる角度で描かれていますが、
これが問題の単純化を妨げています。

解答のような形で、求める平面図形をしっかりと把握することがもっとも大切です。

この視点で考えると、
五角形ABGFEの面積が超えなくてはいけないハードルであることが明らかになり、
方針が定まります。

今週の一問でも何度か取り上げていますが、
立体図形の単純化（＝平面化）
はとても大切な技術です。

立体図形の中の面についてとりあげる問題は、
平面図形として考えればかなりやさしい問題でも、
立体の中に描かれたままでは、辺や角の関係を正確にイメージすることはとても難しくなります。
面倒でも書き出してみる几帳面さが求められます。

～今回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
基本的なモデルを考える視点が大切

女子学院中の算数は、
「基本的な問題をすばやく処理する能力が問われる」
と言われますが、いざ過去問を見てみると、
教科書や基本問題集では見たことのないような図形、設定がほとんどです。

本校の問題の特徴は、
「超基本的な算数技術を、身近な題材に対して適用させる。」
ことです。

身近な題材とは、
「具体的な容器に入った水」「点ではなく人や乗り物の移動」「数の計算ではなく値段の計算」
など生活に密着してはいますが、算数の題材としては極めて数値化しにくいものです。

このようなタイプの問題に取り組むなかで、普段から
「これはそもそもどの算数の技術が問われているの か」
について検討する習慣をつけておくことが大切です。

さもなければ問題の本質とは関係のない設定に振り回されて終わってしまいます。

ほとんどの生徒にとって、算数・数学はそのもののために勉強するのではなく、
実生活で出会うものを計算、測量するためのものです。

複雑な対象を、計算可能な形に落とし込む工夫を求める本問は、
高い学識を活かし実社会で活躍する人材を輩出する本校の指導方針を反映した良問です。

今週は東邦大東邦中より1問です。

直径10ｃｍ、深さ30ｃｍの円柱の容器いっぱいに水が入って います。
この容器を下の図のようにゆっくり傾けました。
容器を45°まで傾け、もとに戻したとき、容器の中に入って いる水の深さは何ｃｍになりますか。　　　　　（東邦大東邦中一部改）

単純化できないか考えましょう。

下の 図のように真横から見て考える。
傾けたときの水面と、地面は平行になるので、三角形ＡＢＣは、直角二等辺三角形となる。
ＡＣ＝10ｃｍであるから、ＡＢも10ｃｍとなる。

ＡＢ＝10ｃｍとしたとこ ろで、こぼれた部分の体積を考える。
下の図のよう に、高さをＡＢ＝10ｃｍ、底面の直 径10ｃｍの円柱を考 えると、
こぼれたのはこの半分にあたることがわかる。

よって、こぼれ たのは、5×5×3.14×10÷2＝392.5cm
残った水の量 は、5×5×3.14×30－392.5＝1962.5cm
もとに戻したと きの高さは、1962.5÷（5×5×3.14）＝25cm
（答え）　25cm

立体の問題の中に、角度が含まれている問題で す。
空間座標を学んでいない小学生の場合、
この条件から
「平面図形に持ち込もう」

という方針をしっかりとたてられるように勉強内容を整理していることが必要です。

ここをクリアーしたあとは、「こぼれた部分が、円柱の半分である」という求積の方針ですが、
これは受験までに必ず類題に出会うものですから、問題はないでしょう。

～今回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
・複雑な事象の単純化・検証能力が大切である

ここまで「理系研究者に必要な能力を問お う」
という姿勢が顕著な学校もなかなかない東邦大学東邦中の出題です。

類題は、ここ何年かで筑波大附属などでも見られていますが、
解答の単純さほど簡単に解けるものではありません。

かつての中学受験生と比べ、最近の生徒に大きくかけていると感じる能力の一つが

「言い換え」「モデルの変形」

といった単純化の能力です。

単純化は、その場その場での試行錯誤と、検証能力が伴わなければ実現できませんし、
なによりもそこまでねばり強く考える時間を取れていないことが原因かもしれません。

多くの問題にあたり、高いパターン認識力を鍛えることで、
たとえ最難関校であっても合格するレベルを確保するのは難しくありません。

ただ、この試行錯誤→単純化→検証というサイクルを身につける良問に取組む
貴重な機会を見逃してしまうはあまりにももったいありません。

理系研究者だけでなく、最前線で活躍する社会人にとって必要な力を問いかける良問です。

今週は高知学芸中学より1問です。

下の（あ）～ （え）は同じ立方体の展開図です。（い）（う）（え）の展開図に残りの数字を、向きに注意して書き入れ、展開図を完成させなさい。（高知学芸中）
（あ）
（い）
（う）
（え）

方向感覚が狂わないように、工夫してみましょう。

（い）
（う）
（え）

（あ） のように、上下左右をきちんと記入します。
（い）で考えるときには、○の部分は明らかに3の右と一致します。
（あ）では、3の右と接しているのは4の左なので、方向が確定します。
このように、立体図形や平面図形の移動、折りたたみの問題において、
方向を常に正しく把握するためには、丁寧な作業が重要です。
（あ）
（い）
万が一にも間違えたくはない問題、しかも確認が難しいタイプの問題では、
このような面倒でも確実な工夫が、見直しを含めると一番の近道になるのです。

～今回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
・ 確実性を担保する視点を見つける能力が重要

「見直しをする力」これは、注意力などケアレスミスをなくすための能力にとどまらず、
「その観点から計算してみても成立していれば答えに誤りはない」
という自らの解法とは別の観点を見つける能力のことです。

確実なものは何か、不確実なものは何か。

そして、その不確実性はどの観点からの確認で払拭されるものなのか。

見直しは、自らの計算の足跡をなぞるものではありません。

考え得る様々な視点で検証する姿勢こそが、
未知の分野を切り開く人間に必要な能力なのです。

100％確実なものと、99％以下のものをきちんと見分ける。
100％確実なものを根拠とする姿勢を身につける。

「センス」「ひらめき」による筋道を、確実なものとする論理性。

レベルの高い学校ほど、「柔軟な発想による方針策定」と
「地道な検証」の両方を必要とする問題を出題してきます。