2011年04月12日

H23年度 麻布中抜粋 【対象学年:5年生以上】



H23年度 麻布中抜粋 【対象学年:5年生以上】



佐藤君と山田君がA地点からB地点に行くことになり、まず佐藤君がAを出発し、次に午前10時に山田君が出発しました。それぞれ一定の速さで歩いていき、2人とも正午にBにつく予定でした。しかし山田君は途中のC地点から自転車に乗り、進む速さを3倍にしたため、自転車に乗ってから4分後に佐藤君をE地点で追い越しました。そして佐藤君が正午にB地点に着いたときには、山田君はB地点からさらにAB間と同じ距離にあるD地点まで進んでいました。

ACの距離とCBの距離の比、CEの距離とEBの距離の比をそれぞれ求めなさい。ただし、できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。


















速さと比の問題では、時間・距離どちらかがそろっている部分を見つける意識が大切です。



























AC:CB=1:1 CE:EB=1:4








一見複雑な問題ですが、まずは分かる範囲で状況を線分図で表しましょう。


20110412-1.gif
そして、ここから、距離やかかった時間が同じ部分を見つけます。速さと比の問題では、いかに距離や時間をそろえられるかがポイントです。距離の比を求める際には時間をそろえられないか、時間の比を求める際には距離をそろえられないか、と考えていきます。

この問題では、距離の比が問われているので、時間がそろっている部分がないかをさがします。

すると、山田君は本来12時にB地点に着く予定だったので、山田くんがC地点からB地点まで歩いたとしたときの時間と、C地点からD地点まで自転車で行ったときの時間が等しいことがわかります。山田君の歩く速さと自転車の速さは
1:3ですから、CB:BD=1:3 になります。(BDに注目すると□と○の関係がわかります・下図)

20110412-2.gif

比をそろえると下図のようになります。よってAC:CB=1:1です。

20110412-3.gif

さて、次にCE:EBを求めます。これも距離の比を求める問題なので、時間の関係が分かる部分はないかと探っていきます。

今、AC:CB=1:1とわかったことで、佐藤君がAからBまで歩いて2時間でいくことから、CからBまでは1時間で行くことがわかります。また、佐藤君の 歩きの速さ:自転車の速さ=1:3 ですから

CE:CB=③(自転車の速さ)×4分:①(歩きの速さ)×60分=1:5 となります。
よってCE:EB=1:4 とわかります(下図)。  

20110412-4.gif

実際の入試でこういった問題が出題されると、できそうなのに、気づかないで焦ってしまうことが多いからこそ、「速さと比」の問題が合否を分けることもままあります。日頃から、「距離が問われているから、時間が同じところをさがそう」といった「~を求めたいのだから、どこがわかればいい」という逆算的な考えで論理的に考えるようにしたいですね。



2011年03月08日

小学生が作った平均に関する良問 【対象学年:5年生以上】


小学生が作った平均に関する良問 【対象学年:5年生以上】



太郎くんは2010年中に何回かテストを受け、その平均点は70点でした。2011年になって最初のテストで94点をとったので、2010年からのこれまでの平均点が74点になりました。

太郎君は2010年中に何回テストを受けましたか。
















実際値の合計 ÷ その数字の個数 = 平均値 
ですから
平均値 × その数字の個数 = 実際値の合計



















5回


確か岐阜県か岐阜市で過去に行った算額コンクールで小学生が作った問題です。シンプルでとてもいい問題だと思います。

インターネットで出典を再度探したのですが見つからなかったので記憶をたどって問題を再現してみました。(もしかしたら設定はオリジナルとは違うかもしれません。)

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2010年中に受けたテストの平均点が70点であることを図示すると下のようになります。
20110308_1.png

2010年中の合計点 を ?回で割ると 70点になるわけですから、言い換えれば、

70点 を ?回 足し合わせると 2010年中の合計点 になります。
=====================================
2011年に1回受けたテストの結果を加えた平均点が74点であることを図示すると下のようになります。
20110308_2.png


これまでの合計点を (?+1)回で割ると 74点になるわけですから、言い換えれば、

74点を (?+1)回 足し合わせると 2011年も含めたこれまでの合計点 になります。
=====================================
ここで次のような式をつくることができます。

70点×?回 = 2010年の合計点
74点×(?+1)回=2011年までの合計点=2010年の合計点+94点

したがって、

70点×?回 = 74点×(?+1)回 - 94点
70×? = 74×?+ 74 - 94
?= 5

となり2010年中は5回テストを受けていたことが分かります。

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おそらくこの問題を作った小学生は平均の考えた方を完璧に理解できていると思います。自分で問題を作るというのは、その分野を理解するための最良・最高の方法です。もちろん手間はかかりますが、その効果は絶大です。積極的に作問に挑戦してみてください。

いい問題ができたら是非ロジムで紹介しますので教えてください。
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2011年03月01日

地形図の読み取りとリード文の利用【対象学5年生以上】




地形図の読み取りとリード文の利用【対象学5年生以上】





下の地形図は国土地理院発行2万5千分の1「八ヶ岳」の一部を拡大したものです。図中のPの滝での集水域として最も適しているものを、下の「集水域の見方とヒント」を参考にして、次のア~エから選び、記号で答えなさい。

20110301-1.gif

[集水域の見方とヒント] 集水域とは、水が集まってくる範囲をいいます。 左図のQのダムでは、Aの範囲が集水域です。 集水域を判断するには、右図のように地形図に描かれていない川(谷)に線を引いてみてもよく分かります。 これらの川を囲む尾根(山と山との頂を結んで続く最も高いところのつらなり)の部分に線を引いた範囲が集水域であることが分かります。

20110301-2.gif

20110301-3.gif

























問題文のヒントがそのままヒントになります。
尾根と谷は等高線が、山頂にたいしてせり出しているか、へこんでいるかで見分けます。





































まず、尾根と谷とは何かを考えてみましょう。尾根とは山頂から続く山の高いところの連なりです。下の写真を見るとわかりますね。そして尾根と尾根に挟まれた部分はまわりより低くなった場所でそれを谷といいます。下の写真では手前の尾根Aと奥の尾根Bに挟まれた場所が谷になるわけです。

20110301-4.gif

これを等高線で見ると、尾根の部分はまわりより高くなっていますから、山頂から、張り出す形になっています。また谷は、まわりより低いので、山頂に向かってへこむような形になることになります。

下図を見てみましょう。南東のはじにある赤い●がこの地域で最も高い場所です。そこから北に向かって、標高の高い数字が並んでいるので(下図の青い●)、それを結んだ線がこの地域で最も高い尾根ということになります(下図赤い太線)。

そしてその線を基準に等高線がはりだしている部分が尾根、へこんでいる部分が谷だということです。図の細い実線部分(尾根)や点線部分(谷)がそれに当たります。太い赤線より東側の部分にふった雨は東側へ、西側へ降った雨は西側へ流れるわけです。

20110301-5.gif

さて、では、問題文のヒントにしたがって、P地点の集水域を作図してみましょう。

P地点からそれより高い東側に向かって川の流れこむ谷を作図してみると、下図の太線AとBが谷になっていることがわかります。その二つの谷が、問題のヒントに与えられている川ということになります。(問題を解くだけなら不要ですが、その川に流れこむ周辺の川もいくつか描いておくと、より分かりやすくなります。(下図)

20110301-6.gif

つぎに、問題のヒントにあるように、それを囲む尾根を探して、最初の太い赤線で描いた尾根までの線を引きます。
(下図)

20110301-7.gif

すると、これがP地点の集水域だとわかりますから、アが正解となりますね。
ちなみにこの集水域の境界に当たる尾根周辺では、降った雨は上図の矢印のように流れますから、作図が正しいことが確認できます。

集水域など、聞いたことがないし、やったことがない、と言っていても始まりません。問題文のヒントがある以上、それにしたがって、考えを進めていくことが大切です。

近年では、このような集水域を実際、作図させるような問題も出題されるようになってきました。非常に緻密で正確な思考と作業が必要な難問ですが、一度はやっておくとよい問題です。







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2011年02月22日

ダイヤグラムの間違いを見つける【対象学5年生以上】




ダイヤグラムの間違いを見つける【対象学5年生以上】






太田くんは自分の家から分速60mの速さで駅まで歩くことにしました。
しかし、30分歩いたところで忘れ物に気づき分速100mで忘れ物を取りに帰り、帰ったときの速さで駅まで向かいました。すると、予定より32分遅くなってしまいました。
太田くんの家から駅までは何m離れていますか。

この問題を以下のダイヤグラムにしました。
しかし、以下のダイヤグラムには誤りがあります。
このダイヤグラムの誤りを指摘し、正しいダイヤグラムを完成させ太田くんの家から駅までの道のりを求めなさい。

20110222-1.gif

























20110222-2.gif

2880m離れている状態から追い越しの旅人算となる。1920m離れている状態になるまでは、2880-1920=960m近づく必要がある。よって、近づくためには960÷(100-60)=24分かかります。48分の地点から32分以上後に駅に着く予定ですが、24分後に1920mはなれた状態(分速100mで駅に着いたとき)になると考えると矛盾が起きます。
このことより、ダイヤグラムが誤っていることがわかりますね。




























(誤りの指摘)ヒントを参照
(正しいダイヤグラム)
忘れ物を取りに帰っている途中に駅に分速60mが駅に着いている状態。
20110222-3.gif
(道のり)2400m









家から駅まで分速60mで歩き続けた場合と、忘れ物を取ってから駅まで行った距離は同じです。そのときの速さの比は(60:100)=3:5となるのでかかった時間の比は5:3となります。この時間の比を⑤と③とします。
すると、下の図のようにまとめることができます。

20110222-4.gif

上の図より、
⑤+32(分)=48(分)+③となることがわかります。
②=16分
①=8分
③=24分
となるので、分速100mで24分走るとつく距離だということがわかります。
よって、家から駅までは100×24=2400mとなります。







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2011年02月15日

サイコロの塗りわけ【対象学5年生以上】




サイコロの塗りわけ【対象学5年生以上】






1から6までの数字がかかれたサイコロがあります。6色の絵の具を使い、隣り合う面が違う色になるように塗り分けます。全部で何通りの塗り方がありますか。6色すべてを使う必要はありません。
























使う絵の具の種類によって場合わけしていきます。




























4080通り








(i)3色で塗り分ける場合
1と6,2と5,3と4を同じ色にします。
1と6の塗り方は6通り,2と5の塗り方は5通り,3と4の塗り方は4通りなので6×5×4=120通り

(ii)4色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち2組を選んで2色使います。そして残りの2面に使っていない4色のうちから1色ずつつかいます。
選ばれた2組をAとB,残りの2面をCとDとすると塗り方は6×5×4×3=360通りです。
AとBの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から2組選ぶので3通りあります。よって4色で塗り分けるのは360×3=1080通り

(iii)5色で塗り分ける場合
まず、1と6,2と5,3と4のうち1組を選んで1色使います。そして残りの4面を4色で塗り分けます。
選ばれた1組をA,残りの4面をB,C,D,Eとすると塗り方は6×5×4×3×2=720通りです。
Aの選び方は,1と6,2と5,3と4の3組から1組選ぶので3通りあります。よって5色で塗り分けるのは720×3=2160通り

(iv)6色で塗り分ける場合
6×5×4×3×2×1=720通り

以上より合計4080通り

場合の数に関する基本事項が全て含まれている良問です。
和の法則,積の法則,そして「まず枠組みのパターンを決定して,塗り分けを考える」という手順です。
解答の(i)~(iii)にあるように,まず「どことどこを同じ色にするか」ということが先決です。下の図のような地図の塗り分け問題は見たことがあるのではないでしょうか。

20110219-1.gif


この場合も,まずどことどこを同じ色にするかを決定します。4色で塗り分けるなら、AとEを同じにするかBとCを同じにするかCとEを同じにするかのパターンがありますね。

さらに場合の数の応用として,「回転させて同じになるものは1通りと考える」というものがあります。
本問をサイコロではなく,数字の書いていない立方体と考えて「6色すべてを使って塗り分けるのは何通りか。」を考えてみてください。






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2011年02月08日

蛇行する川の流れの速さは【対象学4年生以上】




蛇行する川の流れの速さは【対象学4年生以上】






川の水は上流でけずりとった土や石などを中流や下流に運び、積もらせます。下の図は川の中流を表したものです。図中のABでの川の断面としてふさわしいものを(あ)~(か)の中から1つ選び、記号で答えなさい。

20110208.gif

























ありません。




























(あ)








「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」
誰もが知っている定理です。
しかしながら、これだけをおぼえておけばいいというわけではありませんね。
この定理からどのような帰結が導かれるかを考えておくことが大切です。


「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」ので、
外側は、より深く浸食されます。
よって、(い)(う)(お)(か)は不正解。


「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」ので、
外側では、小石・砂は運搬され、大きな石しか残らない。
よって、(え)は不正解。


以上から、正解は(あ)ですね。






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2011年01月25日

比較、考察、仮説設定、検証 論理総合問題【対象学5年生以上




比較、考察、仮説設定、検証 論理総合問題【対象学4年生以上】






下記は、ある架空の言語(「言語H」と呼ぶことにする)の文とその日本語訳を対応させたものである。

 (例文1)fluu esa teeko 犬が猫を見る。
 (例文2)fluu esano teeko 私の犬が猫を見る。
 (例文3)zuguu sage jaoo flaqe 子供が多くの豆を食べた。
 (例文4)fluu aa sage esano 二人の子供が私の犬を見る。
 (例文5)fluu een esano teekone 私の一匹の犬があなたの猫を見る。
 (例文6)fluguu esane gubine teeko あなたの白い犬が猫を見た。
 (例文7)zuu een bee flaqe taan 一匹の猿が黒い豆を食べる。
 (例文8)fluu teekono taanno aa beene 私の黒い猫があなたの二匹の猿を見る。
 (例文9)zuu bee gubi jaoo flaqe taan 白い猿が多くの黒い豆を食べる。

 
(1) 上で示された文例から推測できるかぎりで、次の言語Hの文を日本語の文に翻訳した場合、どのような文となるか。最も適当なものを、下のア~コのうちから一つ選べ。
                                       
 「fluguu sage jaoo teeko taan」

 ア 子供が多くの黒い猫を見た。
 イ 子供が多くの白い猫を見た。
 ウ 黒い猫が多くの子供を見た。 
 エ 白い猫が多くの子供を見た。
 オ 多くの子供が黒い猫を見た。
 ガ 多くの子供が白い猫を見た。       
 キ 二人の子供が黒い猫を見た。
 ク 二人の子供が白い猫を見た。
 ケ 黒い猫が二人の子供を見た。      
 コ 白い猫が二人の子供を見た。


(2) 上で示された文例から推測できるかぎりで、次の日本語の文を言語Hの文に翻訳した場合、どのような文となるか。                

 「犬が私の黒い豆を食べる。」

























「違いを1つ」にして比べることを忘れないで下さい。日本語の文法からいかに離れられるか(固定観念を捨てられるか)も鍵です。




























(1)ア
(2)zuu esa flaqeno taanno







まずそれぞれの単語が日本語でいうと何に当たるのかを考えます。

例文1と例文2を比べることで「単語の最後に no」がつくことで、「私の」という意味になることがわかります。

同時に「esa」が犬であることが予想できます。
(さらに同時に、teeko fluu のどちらかが「見る」でありどちらかが「猫」であることも予想できます。)

これと例文4からfluu が 「見る」 であることがわかります。

これと例文3から aa が二人の sage が 子供 を意味することもわかります。

同様にしてまずそれぞれの単語が何を意味するのかを明らかにします。

fluu・・・見る
esa・・・犬
teeko・・・猫
zuu・・・食べる
sage・・・子供
jaoo・・・多くの
flaqe・・・豆
aa・・・2つの
―no・・・「私の―」(所有を表すとき)
enn・・・1つの
―ne・・・「あなたの―」(所有を表すとき)
―guu・・・過去をあらわす
gubi・・・白い
taan・・・黒い
bee・・・猿

またポイントですが、この言語Hでは
動作を表す言葉 ― 主語 ― 「~を」という対象を表す言葉

という語順になっており、色は単語の後ろから、数は、単語の前につくことがわかります。

ここから(1)は

 fluguu(見た) sage(子供が) jaoo(多くの) teeko(猫) taan(黒い)となり、正解はアとなります。

(2)については教室であつかった際に最も多かった誤答が
「犬が私の黒い豆を食べる。」

「zuu(食べる) esa(犬) flaqeno(私の豆) taan(黒い)」 でした。

例文5 例文8をみると、「私の」「あたなの」という所有を表す言葉がつくときは、その物だけではなく、そのものの色を表す言葉にも「―no」「―ne」という文字が付くという言語Hの文法がわかります。(いかに頭を柔らかくし、日本語にない世界を受け入れられるかが大事です)

ですから正解は、taan(黒)にno(私の)がつく必要があり、

zuu esa flaqeno taanno となります。


比較による仮説設定から思考を積み重ねていくという論理力の訓練にとても適した問題です。






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2011年01月18日

小問の誘導と対称性の利用(3年生以上)




小問の誘導と対称性の利用(3年生以上)






1辺1cmのサイコロを右図の1辺1cmの正方形が12個ならべられた台紙(下図)のうえを
すべて1回ずつ通るように移動させます。


20110118-1.gif

(1)図の左下(頂点Dをもつ正方形)から始めた場合、転がし方は何通りありますか。
(2)スタートする正方形を自由に選ぶとき、何通りの転がし方がありますか。

                                 2011開智中先端A入試改題
























(1)は自分なりの基準を作って実際にやってみましょう。
(2)(1)の結果を利用できる方法はないか考えてみましょう。



























(1)6通り
(2)64通り









(1)何回か実際に転がしてみましょう。そうすると、横に2マス以上転がしたあと、段をかえてしまうと空白ができてしまうことに気付きます(たとえば下図)。

20110118-2.gif

よって段を変える前に、それより左側のマスをすべて通っておく必要があるため、どこのポイントで横にまっすぐ進むかを基準にルートをえらべばよいことになります。そうすると、以下の6通りの通り方が考えられます。

20110118-3-1.gif
20110118-3-2.gif

(2)スタートの正方形をどこでも選んでよいので、一見とても大変な問題に見えるかもしれません。しかし、4角はひっくり返したり、裏返したりすれば、(1)とまったく同じ状況になる(下図a
☓部分は結局6通りずつである)とわかれば、処理の手間がかなり減ります。

20110118-4.gif

同様に、上図の◯の部分、△の部分も、すべて同じ数ずつ通り方があることになります。

つまり◯からスタートする場合と△からスタートする場合を1つずつ調べてそれを4倍すればいいわけです。

(ⅰ)◯からスタートする場合

最初に上に進んでしまうと、(1)のときと同様、通れないマスができてしまいますから、最初に◯より左側、または右側をすべてうめておかなければいけません。
どちらかをうめたあとは(1)と同様、横にまっすぐ進む前に、その後ろ側をすべてうめておかなければなりませんね。よって最初に左側をうめる場合が4通り、右側をうめる場合が1通りで、合わせて5通りの通り道があります。

20110118-5.gif

(ⅱ)△からスタートする場合も(ⅰ)の場合と同様のルールで数えましょう。

0118-6.gif

この場合、最初に左側に行く場合に3通り、右側に行く場合に2通りの合わせて5通りの通り道があります。


以上より、図aの☓部分からのスタートが6通り、◯部分・△部分からのスタートがそれぞれ5通りあるので、全部で

(6+5+5)×4=64 通り の通り道があることになります。


このように、複雑に見える問題でも、まず手を動かしてルールや基準を発見すれば、正確に数えることができます。そしてそれをうまく使って、より複雑な問題を解けないか、と考える姿勢を持ちましょう。対象学年は3年生以上としましたが、特別な知識も不要な問題という点では、もっと低学年の人でもできる問題ですね。







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2011年01月11日

数列の利用【対象学年:4年生以上】




数列の利用【対象学年:4年生以上】





下の数列は
1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・
「前の2つの数を加えると次の数になる」という数列です。


この性質に似た性質がかくれている問題が直線の本数とその交点の数です。
直線に対してできるだけ多くの交点を作った場合

20110111-1.gif

と交点が増えていきます。

(1)7本目の直線をひいたとき6本目のときより何個交点は増えますか。
(2)直線が8本のときの交点の数は何個ありますか。
(3)100本目の直線をひいたとき99本目のときより何個交点は増えましたか。

























 直線の本数と交点の数、そして「前の2つの数を加えると次の数になる」ことを意識して考える。



























(1)6個
(2)28個
(3)99個









(1)数本の直線に対して新しく1本の直線を引いた場合、その数本の直線の1本につき1つの交点が新しくできます。
例えば、3本の直線に対して新しく1本の直線を引いた場合は下の図のようになります。

20110111-2.gif

3本の線に対して、1本の直線を引くことにより、その3本に新しく交点が1つずつできます。よって、6本の線に対して7本目の直線を引くと新しく6個の交点が増えることになります。

20110111-3.gif

手前の本数の数と交点の数を足すと次の交点の合計になっていることがわかります。

(3)上の表より新しくできる交点の数は、1つ手前の直線の本数と等しくなっていることがわかります。よって、100本目の直線の交点はそれまでの99本の直線と交点をつくるので99個になります。







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2010年12月28日

干潟の鳥の特徴 【対象学年:3年生以上】




干潟の鳥の特徴 【対象学年:3年生以上】





 海辺では,1日のうちで海水面が最も上がる満潮と,最も下がる干潮が繰り返し起こります。特に河口のそばでは遠浅の地形になっていることが多く,満潮のときには海水におおわれ,干潮のときには泥や砂でできた,なだらかな陸地があらわれます。この陸地を干潟と呼びます。干潟には,カニや貝など多くの小さな生き物たちがすみ,そこへ様々な鳥たちがえさを求めて集まります。

 下の(ア)~(オ)の鳥の中で、この干潟に多く見られるはどれでしょうか。1つ選び記号で答えなさい。




20101227-1.jpg




20101227-2.jpg

























 ありません。



























 (エ)








干潟は泥や砂でできているとあります。とすると羽に泥などがかからない、足の長い鳥が適しているといえます。
また鳥たちがカニや貝などを泥や砂の中からくちばしでとることから、くちばしが長い鳥が適しているといえます。
以上から正解は(エ)となります。





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