学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　凹面鏡のうつりかた【対象学年：5年生以上】





下図のような物体を凹面鏡(スプーンのような鏡)に接した状態からだんだん遠ざけていきます。
そのとき映る像はどのようになるでしょうか。ただし物体とそれを見る人の目の位置は同じ(物体の移動とともに目の位置も移動する)ものとします。

　
ア　上下左右そのままの像ができる
イ　左右のみ逆の像ができる
ウ　上下のみ逆の像ができる
エ　上下左右逆の像ができる
オ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
カ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
キ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
ク　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ケ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
コ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
サ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
シ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
ス　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
セ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ソ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
タ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる

　知らないと思った問題でも、基本的なこと(この場合は光の反射のしかた)からしっかり考えていくことで妥当な結論を導くことができます。
光の問題ではとにかく作図をしてみることが大切です。

シ

まず上下方向の光の進路を作図してみましょう。
入射角と反射角が等しくなるように反射させた図を描けばいいですね。
同様に左右方向の光の進路も作図します。(下図1.2)

すると、図１については、ｃの点線より内側(ｄ)に物体がある場合、上下の向きは変わらず(図3)、ｃの位置より外側(a.b)では、上下が反対になることが分かります(図4)。

左右も同様に、ｃより内側(ｄ)に物体がある場合、像の左右は逆になり(図5)、外側(a.b)の場合、もとに戻ることになります。
しかし上下も逆転しているため、左右も逆転した像になりますね(図6)。(右手側である◎が左手側にあるようにうつる)

よって点ｃより内側に物体がある場合、上下はそのまま、左右は逆の像ができ、ｃより外側に物体がある場合、上下左右ともに逆の像ができることになります。ちなみにこの点ｃを凹面鏡の焦点といいます。

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　2010年度入試シリーズ　(2)早稲田中学校【理科】より

　最近、発光ダイオード（ＬＥＤ）という明かりがいろいろなところで使われるようになってきた。
ＬＥＤにはつなぐ向きがあって、図１（ａ）のように正しい向き（順方向）につなぐと電流が流れて光るが、図１（ｂ）のように逆向き（逆方向）につなぐと電流が流れずに光らない、という性質を持つ。

　いま、図１（ａ）と（ｃ）のようにＬＥＤと豆電球をそれぞれ同じ電池につないだところ、ほぼ同じ明るさで光った。豆電球をつないだときに回路に流れる電流は200mAであった。
　次に、図２のようにこれらの豆電球とＬＥＤを並列につないで、先ほどの電池につないだ。このとき電流計は220mAを示した。

問１　図２のように並列につないだ場合、ＬＥＤと豆電球の明るさはどうなるか。以下から選び、記号で答えよ。
　　ア　豆電球のほうが明るい　　イ　ＬＥＤのほうが明るい　　ウ　ほぼ同じ明るさである

　　電流の基本です。

　ウ

　ＬＥＤの問題は、中学入試理科の常連となったと言っても過言ではありません。
それほど近年毎年出題されていますが、それらの多くは「順方向・逆方向のつなぎ方による回路作り」でした。電流が流れる道をきちんと精査し、つなぎ方を条件に合うように変えるものですが、本問は一風変わった出題となっています。
豆電球の学習における「電流が大きいほうが明るい」という常識からはなれることができなければ、受験生も混乱してしまったのではないでしょうか。

　まず、図１の（ａ）と（ｃ）から、乾電池１個分の電圧をかけることでほぼ同じ明るさで光ることがわかります。
図２のように並列につないだ場合にも、豆電球とＬＥＤにはそれぞれ乾電池１個分の電圧がかかることに変わりはありませんから、当然ほぼ同じ明るさで光ります。

　しかし、問題文の「次に、・・・」以降によって、混乱させられた受験生は多いはずです。図２の電流計は220mAを示しています。豆電球のほうには200mAの電流が流れているはずですから、ＬＥＤのほうには20mAしか電流が流れていません。ということはＬＥＤのほうが暗い・・・？という混乱です。電流の大きさで明るさを比べる習慣があると、逆に混乱してしまうでしょう。並列回路だから、かかる電圧が等しいという「電流の基本」が問われています。

※ちなみに、ＬＥＤは小さな電流で明るく光ることができる装置です。

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太さが一様な棒でも、面白い問題が存在します。

　太さ（直径）12cm、長さ２ｍの棒があります。この棒は太さは一様ですが、いろいろなものをまぜて作ったため、重心が棒の中心ではありません。重心の位置を探すためにいろいろな位置をばねばかりでつるしたところ、図１のように右はしから80cmのところで棒が水平になってつりあいました。このとき、ばねばかりは1680ｇを示していました。

　この棒の重心から左へ70cmはなれたところに、ある重さのおもりをぶらさげたところ、図２のように棒が30度かたむいて静止しました。このとき、おもりは何ｇですか。

　おもりの力、ばねばかりが持ち上げる力のほかに、どのような力がありますか？

　72ｇ

　まず、図１でばねばかりをつけた位置を点Ｐとします。このとき水平につりあっていることから、この棒の重心は棒の右はしから80cmのところにあり、この棒の重さは1680ｇであることがわかります。
ここで、注意しなければならないのは「重心は点Ｐではない」ということです。この棒には一様な太さがありますから、重心は点Ｐから６cm（直径12cmの半分）下にあることになります。

　図２のように、棒を点Ｐを中心に回転させると下の図のように重心の位置が点Ｐの真下ではなく、右側にずれてしまいます。これにより、点Ｐよりも左側におもりをぶら下げることで再度つりあわせることができたのです。

　ここまでわかれば、あとは単純なてこの計算です。重心が右にずれたきょりは、６cm÷２＝３cmですから、点Ｐを支点とすればおもりと重心までのうでの長さ（水平きょり）は70：３となります。
よって、力はこの逆比で３：70ですから、おもりの重さは1680ｇ÷70×３＝72ｇです。

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一瞬のできごとに、ごまかされてはいけません。

　机の上に10円玉と500円玉を置き、それぞれを衝突させる実験を行いました。
［実験１］図１
　１枚の10円玉（Ａ）を机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｂ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｂはその場に静止し、Ａは左へ動き出した。
［実験２］図２
　１枚の500円玉（Ｃ）を机の上に静止させておき、１枚の10円玉（Ｄ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｃは左へ動き出し、Ｄは右へ動き出した。

　これをもとに、下の図３のように１枚の500円玉（Ｘ）と１枚の10円玉（Ｙ）を一列にならべて机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｚ）を指ではじいて右からＹに衝突させると、どのように見えますか。次のア～エから選びなさい。

ア．Ｚが、ＸとＹをはじき飛ばしたように見える。
イ．Ｙが、ＸとＺをはじき飛ばしたように見える。
ウ．ＸとＹにより、Ｚがはじき飛ばされたように見える。
エ．Ｘにより、ＹとＺがはじき飛ばされたように見える。

　一瞬ですが、全部で３回の衝突が起こっています。

　イ

　まず、はじめの衝突はＹとＺです。

実験１の結果より、衝突後Ｚはその場で静止し、Ｙは左に動き出すことになります。
しかし、左にはＸがいるので、ここでＸとＹが衝突します。
これが２回目の衝突です。

実験２の結果より、衝突後Ｘは左へ動き出し、Ｙは右へ動き出します。
しかし、Ｙの右にははじめの衝突で静止したＺがいるので、ここでＹとＺが再び衝突します。
これが３回目の衝突です。

実験１の結果より、衝突後Ｙはその場で静止し、Ｚは右へ動き出すことになります。

　これが実際には一瞬で起こるわけですから、ＺがＸをはじき飛ばし、さらにＺ自身が後退していくように見えますね。まるでＹがＸとＺをはじき飛ばしたかのように。

　さて、実際に衝突した状態を想像してみることも大切ですが、それは経験がないとなかなか難しいでしょう。この問題では、たった一瞬の衝突であっても、その間に３回の衝突が起こっており、それらがすべて実験の結果で説明できるところがポイントです。

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投影図が見えていますか。

　下の図１のような正四角すいを正面から見ると図２のように見えました。
この正四角すいの表面積を求めなさい。

　底面と側面の形を正しく認識しましょう。

　360平方cm

　表面は、底面と側面からできていますので、それぞれを求めます。

［底面積］
　正四角すいですから、１辺が10cmの正方形です。よって10×10＝100平方cmとなります。

［側面積］
　二等辺三角形ですが、高さは12cmではありません。
正面から見た図ですから、これは影の形と考えることができます。
つまり、12cmはこの正四角すいの高さであり、側面である二等辺三角形の高さは13cmとわかります。
この二等辺三角形が４つあるので、10×13÷２×４＝260平方cmとなります。
　
　以上より、表面積は、100＋260＝360平方cmとなります。

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　複雑な回路を流れる電流

　下の図のように、豆電球３つと乾電池２つとスイッチ３つを使って回路をつくりました。いま、Ａ～Ｃのスイッチはどれも入っていませんが、アとウの豆電球が光っていました。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) Ａのスイッチだけを入れると、ア～ウのうちどの豆電球が光りますか。

(2) すべてのスイッチを入れると、ア～ウのうちどの豆電球が光りますか。

　電流の気持ちになってください。

(1) ア、イ、ウ
(2) イ、ウ

　まず、電流が流れるルールを確認しましょう。
豆電球は電気抵抗なので、豆電球が多ければ多いほど電流は流れにくくなります。特に、豆電球を並列につないだ場合、それぞれを流れる電流の大きさは豆電球の個数の逆比になります。

　たとえば、豆電球１個と２個を並列（道が分かれている状態）につないだ場合、流れる電流は２：１となるのです。
このことから、下の図のように、もしも分かれた道の一方に豆電球がなかった場合、豆電球のある方へ流れる電流が０となり、すべての電流が豆電球のない道を選んで流れることになります。

　このように、複数のスイッチや並列部分をふくむ複雑な回路では、どこを電流が流れるのか（どこを電流が流れないのか）をきちんと調べることが重要です。この際にポイントとなるのが「道が分かれたら再び合流する位置を探し、それぞれの道で豆電球がない道があればそこしか電流は流れない」ということです。

(1) まず、説明のために、図１のように各地点を「あ」～「お」とします。
電池を出た電流は「あ」で道が分かれます。このとき、「い」へ向かう電流と「え」へ向かう電流が合流する地点は「お」しかありません。
このとき、どちらの道にも豆電球があるので、どちらも流れることになります（流れる電流の大きさの比は、１：２ですね）。

(2) 図１と同様に「あ」～「お」とします。電池を出た電流は「あ」で道が分かれます。
このとき、「い」と「う」と「え」に向かって電流が流れていきます。
ここで、次の３つの場合を考えてみましょう。

１．「い」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。
２．「う」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。
３．「え」で合流する場合・・・「あ－い」の間は流れません（この道だけ豆電球があるため）。

　よって、どこで合流するにせよ、「あ－い」の間を通らなくてすむ道があるので、「い」に向かっては流れないことがわかります。
「う」と「え」に分かれて流れた電流は、このあと「お」で合流することになりますが、この場合どちらも豆電球があるのでどちらにも流れることになります。

では、スイッチＡとＢのみを入れた場合はどうなるでしょう？
ぜひ、考えてみてください。

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　合わせ鏡の公式

　図のように、２枚の鏡をある角度で合わせ、中央にろうそくを置いたときにいくつの像ができるかを調べたところ、結果は表のようになりました。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) 表の結果から、できる像の個数は次のような式で求めることができます。次の式の空欄に、あてはまる数を答えなさい。

(2) 鏡の角度が30度のとき、像は何個できますか。

　ありません。

(1) ア　360　　イ　１
(2) 11個

　１つの例として、90度の場合を考えてみます。
下の図のように、２枚の鏡をＡ、Ｂとすると、Ａに映ったＢ、Ｂに映ったＡというようにして、新しく鏡Ｃ、Ｄができたと考えることができます。
これにより、鏡Ａ、Ｂでできた像が、鏡ＣやＤでもできるので、その像の個数を考える必要があります。

　この場合、はじめの鏡の角度が90度であることから、下の図のように360÷90＝４で、鏡や鏡の像によって４つの場所に区切られます。
ここにそれぞれ像ができますが、その場所のうち１つは実際の物体（ろうそく）がいることになるので、像は４－１＝３個となるのです。

　同じようにして、例えば鏡の角度が60度の場合、360÷60＝６で、鏡や鏡の像によって６つの場所に区切られます。
このうち１つは実際の物体（ろうそく）がいることになるので、像は６－１＝５個となるのです。

　つまり、合わせ鏡による像の個数は「360度÷鏡の角度－１」で求められるのです。

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　シンプルですが、意外と正解できません。

　Ａ君の部屋の窓は北を向いているため、太陽の光をとり入れるために、図のように北側の庭に鏡を置くことにしました。
　太陽の位置は常に変化をしてしまうため、春分の日にＡ君の部屋の同じ場所に光をとり入れるために鏡を回転させることにします。鏡の向きは、１時間に何度回転させればよいですか。

　１時間あたりの動きといえば・・・。

　7.5度

　春分の日ですから、真東からのぼった太陽は真西にしずみます。
よって、太陽の光が届く時間は12時間と考えることができます。
　12時間で180度動くので、１時間あたり15度となり、これは太陽の日周運動では基本知識です。

しかし、答えは15度とはなりません。

　例えば、鏡を１度回転させると、入射角が１度へるため、反射角も１度へります。
鏡が傾いた上に反射角も減るわけですから、二重の影響を受けて反射光線は２度ずれることになるのです。
よって、１時間に15度ずらすためには、鏡は7.5度ずらしていけばよいことになります。

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　問題文の数字に惑わされることもあります。

　1200立方センチメートルの水を入れたペットボトルの底に小さな穴をあけ、出てきた水の量と時間の関係を調べました。
ペットボトルのふたは、はずしてあります。その結果は、下の表のようになりました。

　このペットボトルに、はじめに500立方センチメートルの水を入れて実験すると、200立方センチメートルの水が出るまでに何秒かかりますか。

　はじめの500立方センチメートルがポイントなのですが・・・。

　144秒

　まず、表を見てわかるとおり、出た水の量と時間に明確なきまり（比例・反比例など）は見つけられません。つまり、計算をして求めることは無理であることがわかります。

　そこで、はじめに500立方センチメートルの水を入れたことに注目します。しかし、表にある「500立方センチメートルの水が出るまでに188秒かかる」ことは利用できません（ここがひっかかるポイントです）。なぜなら、これは1200立方センチメートルの水から500立方センチメートル出たときの話なので、このときペットボトルには700立方センチメートル水が残っているからです。

　ペットボトルの中の水が500立方センチメートルになったときが始めと考えられるので、1200立方センチメートルの水のうち700立方センチメートル出たときが始めです。そこから200立方センチメートル出すわけですから、1200立方センチメートルの水のうち900立方センチメートル出たときが終わりです。よって、表の値を利用すれば434－290＝144秒が正解です。

　この問題は「問題文にない数値（データ）に注目して答えを導き出す」類の良問です。数字をはじめとして問題文の中のヒントを追うことももちろん大切ですが、この問題のように与えられたデータに適した表現に読み換えるというスキルも非常に重要です。

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選択肢がなければ答えが出せない問題もあります。

なめらかなカーテンレールと台でつくった装置を使って以下の実験を行いました。

＜実験１＞
　下の図のように、ななめの部分のカーテンレールを100cmとし、その上端からパチンコ玉を静かに転がしたところ、パチンコ玉はレールの右端から飛び出し、台から100cmの所に落ちた。

＜実験２＞
　角度は30°のまま、ななめの部分のレールの長さを２倍、３倍として、それぞれ上端からパチンコ玉を転がした。表１は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

＜実験３＞
　ななめの部分のレールの長さは100cmのまま、レールの角度を変えてそれぞれ50cmの高さの所からパチンコ玉を転がした。表２は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

＜実験４＞　
　 レールや台は実験１と同じ状態で、転がす玉の材質を変えた。ただし、それぞれの重さは異なっても、大きさは同じだった。表３は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

この実験結果から、ななめの部分のレールの長さは100cmのままレールの角度を変えて、それぞれの上端からパチンコ玉を転がすとそれぞれのパチンコ玉の飛んだ距離はどのようになりますか。次のア～クから選び、記号で答えなさい。

(1) レールの角度を45°にしたとき
(2) レールの角度を60°にしたとき

　　　　　　ア．71cm　イ．100cm　ウ．119cm　エ．132cm　

　　　　　　オ．141cm　カ．155cm　キ．173cm　ク．200cm

選択肢がなければ、解けません。

(1)ウ
(2)エ

　この実験より、球が飛ぶ距離は「はじめの球の高さ」によってのみ決まることがわかります。実験２から、はじめの高さが高いほうが飛ぶ距離が長いところまではわかりますが、比例関係にはなく、きまりまではつかめません。そこで、図にして比べてみると・・・

これから、(1)、(2)ともに、飛ぶ距離は100cm以上141cm以下であることが予想できます。また、当然(1)よりも(2)の方が飛ぶ距離は長くなるので、選択肢であてはまるのは119cm、132cmしかありません。

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