学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

タイトル　2008-06-23

初見の問題は、難しいと思い込んでいませんか？

地層がいつごろできたものかは、地層の中に含まれている物質が長時間かかって別の物質に変化する性質を利用して求めることができます。そのような物質の中にウランとよばれる物質があり、ウランは７億年たつと、もとの重さの半分が鉛という物質に変化します。すなわち、
　100ｇのウランは７億年たつと50ｇが鉛に、さらに７億年たつと残り50ｇのウランのうち25ｇが鉛に変化することになります。

問題　
とある地層を調べると、ウランの重さが1.0ｇ、ウランから変化したと考えられる鉛の重さが7.0ｇでした。この地層ができたのは、今からおよ そ何億年前ですか。答えが割り切れないときは、小数第一位を四捨五入して整数で答えなさい。

問題文から、ウランは７億年ごとに半分が鉛に変化していることがわかります。

21億年前

問題文から、ウランは７億年ごとに半分が鉛に変化していることがわかります。

例えば、最初のウランを１とすると、
［第１段階］７億年後にはウランが1/2になり、鉛が1/2できています。→ウラン：鉛＝１：１　　 ［第２段階］さらに７億年後には、1/2のウランが半分になるので1/2×1/2＝1/4になり、そのときにできた1/4の鉛をあわせて鉛は全部で1/2+1/4＝3/4できています。→　ウラン：鉛＝１：３　

［第３段階］さらに７億年後には、1/4のウランが半分になるので1/4×1/2＝1/8になり、そのときにできた1/8の鉛をあわせて鉛は全部で3/4+1/8＝7/8できています。→　ウラン：鉛＝１：７　

ここで、問題ではウラン1.0ｇ、鉛が7.0ｇになっているので、上記から第３段階まで進んでいることがわかります。よって、答えは21億年前となります。

この問題では、７億年ごとにウランの半分が鉛に変わっていくわけですが、結果的にウランと鉛の合計量は変化しません。つまり、上記のように最初にウランが１あったとすれば、第２段階以降における鉛の量は、（１－ウランの量）で求めることができます。また、このことを利用すると次のような別解で比較的簡単に求められます。

[別解１]
さかのぼって考えると、鉛は１段階もどるごとに倍になっていくことがわかります。よって、結果の１段階前は鉛が１×２＝２ｇあったことになるので、ウランに変化したのは２－１＝１ｇとわかります。よって、ウランはこのとき７－１＝６ｇあったことになります。このようにして、１段階ずつさかのぼってみると、

[別解2]
鉛とウランの合計量は一定であることに気づければ、この問題でははじめ鉛が１+７＝８ｇあったことがわかります。１段階さかのぼるごとに鉛の量は２倍になっていきますから、１ｇ→２ｇ→４ｇ→８ｇと３段階さかのぼればよいのです。よって、７億年×３＝21億年前となります。

まとめ

　理科の問題の中にも、算数的処理をすることで楽になるものは決して少なくありません。

この問題が別解２ で処理できるならば、どれだけ入試で有利であるかは容易に想像できるでしょう。
しかし、それ以外の解法は 普段避けるべきなのでしょうか。

　いいえ、それはちがいます。

　たとえばこの問題のように、多くの生徒が初見と感じる問題に「最適な解法」がその場で即座に浮かぶはず がありません。そもそも、自分が最適と思った解法であっても、それを越える適当な解法が出てくることもそ う珍しいことではありません。

　要は、「知らない、わからない」という段階から、「調べる、確かめる」という段階を経て、正答を導き出す中で、何か規則を見出すことが非常に重要なことといえます。

これは時に、特別な解法を知っていて即答できることよりも絶大な力を発揮することが多いものです。

　近年、子供たちは間違えることを恐れて一発で（妙に美しく）正答を得ようとしなければならないと思い込んでいる姿が多く感じられます。そうではない、いかに多くの考え方を知るか、気付くか、ということが大切なのではないでしょうか。

　これこそ、受験（合格）が目的なのではなく、「成長」が目的である学習の軸であるといえるでしょう。

「水に浮く」とはそもそも何を意味するのか。基本原則をおさえます。

ポリエチレンのふくろA～Cに、温度のちがう水（A…0℃、B・‥4℃、C…16℃）を同じ体積ずつ入れました。そして、右下の図のように、A～Cのふくろを10℃の水が入った水そうの中央に静かに入れました。A～Cのふくろはそれぞれどうなりますか。次のア～エから選びなさい。

ア　しずむ　イ　うく　 ウ　中央から動かない　エ　ういたりしずんだりする

「同じ体積あたりの重さ」（≒密度）という概念を理解してください。

A・・・ア
B・・・ア
C・・・イ

そもそも、「水に浮く、水に沈む」とはどういったことなのか確認します。
周囲の水に比べて、同じ体積で比べたときの重さが小さいときに物体は水に浮き、大きいときに物体は水に沈みます。

あえて思い切ったかんたんな言い方をすると、「水に比べて少しでもぎっしりと中身が詰まっているものは沈み、水にくらべ少しでも中身がスカスカなものは浮く。」とイメージすることができます。

水は4度の時が体積最少となります。重さは変わらないので、4度のときに密度最大（＝最も「ぎっしり」） になります。
（↑この文章の内容を一読してイメージできないようでは正直中学受験は厳しいと思います。）

このグラフのように、水の体積は4度を最少として（4度付近では）左右対称の形になります。したがって、4℃との差が大きいほど、体積は大きくなり、「スカスカ」になります。

では類題です。たとえば、ポリエチレンふくろに0℃の水をいれて、ふくろが浮きも沈みもしないで動かないのは、水そうの中の水が何度のときでしょう？わかりますよね？

数量変化に対して、正比例なのか反比例なのかをイメージします。

電熱器を使って20℃の水300ｇを1分間加熱したら、23.2℃になりました。更に、20℃の水300ｇの中に、20℃の金属球1個を入れて1分間加熱したら、水と金属は23℃になりました。

（問）20℃の水300ｇの中に、同じ金属球を何個か入れて1分間加熱したら、22.4℃になりました。このとき、水の中に入れた金属球は何個ですか。

ただし、電熱器はいつも同じように発熱して、熱は水と金属球を熱することだけに使われるとします。

鉄球が水何ｇに相当するかを考えます。

答え、　5個

この電熱器は1分間で300ｇの水の温度を3.2℃上げる性能を持っています。
また、鉄球1個と水300ｇでは、温度は3℃上昇しており、これは水320ｇ分となる。
（320＝300×（3.2/3） （水量と温度変化は反比例）

つまり鉄球1個は水20ｇと同じあつかいができる。

水と鉄球をあわせたものは、1分間で2.4℃温度上昇している。これは水400グラム分である。
（400＝300×（3.2/2.4））（水量と温度変化は反比例）

鉄球？個　は　水100ｇ分に相当し（400　-　300　）、

鉄球1個は　水20ｇに相当するのだから、？は5

鉄球1個が水何ｇに相当するのかを考えるということも大事ですが、それ以上に
「数量変化に対して、正比例なのか反比例なのかをイメージする。」これがこの問題の肝です。

普段から、公式暗記の算術処理ばかりしていてはこういった能力は身につきません。
「ってことは」を繰り返し、おきていることをイメージする力を身につけます。

この電熱器は1分間で、300ｇの水の温度を3.2℃上げます。ここで単純に

「じゃあ、水が倍の600ｇだったら、水は6.4℃あがるの？それとも半分の1.6℃？」と考えてみることで、

頭の中に熱量に関するイメージが出来上がります。常識的に水が多ければ、上がる温度は小さいですよね。

この問題で、鉄球1個と水300ｇ　が　水281.25　ｇ　　　　（300：？＝3.2：3）
に相当する　と計算してしまった生徒は、勉強の仕方を変えるべきです。そのまま勉強をつづけても絶対に成績は伸びません。

問題自体は簡単です。算数の数え上げの基本を理科でも使います。

図のような器具を使ってブザーをつくろうと思います。図中のCは鉄棒にエナメル線を巻きつけたコイル，Sは押しボタン式のスイッチです。

（1）　図のA～Fを3本のエナメル線でつないで，ブザーが鳴るようにするには，3本の線のつなぎ方はいくとおりありますか。

（灘）

（1）やみくもに数えようとするとミスします。
　

ブザーの仕組みは教科書等で確認してください。割愛します。
この問題は、それ以上に数える際の「起点」「基準点」を決めることがポイントです。
Aにつながるのは、B、C、D、E　の4通りあります。

1）A-Bがつながる
A-B　C-D　E-F
A-B　C-E　D-F

2）A-Cがつながる
A-C　B-D　E-F
A-C　B-E　D-F　　　
（このあたりで場合わけに慣れている人は、4×2の8通りが解答だと気付きます。一握りの優秀な生徒を除いて、いきなり4×2に気付くのは至難の業です。書き出している途中で気付くのがポイントです。書き出しすらしないのは問題外です。）

3）A-Dがつながる
A-D　E-C　B-F
A-D　E-B　C-F

4）A-Eがつながる
A-E　D-C　B-F
A-E　D-B　C-F

答え、8通り

「何通りありますか」という種類の数え上げの問題。解答に生徒の癖、むしろ性格が大きく反映される問題ではないでしょうか。

中途半端な小手先学習に終始している生徒は、意味もわからず、それぞれ部品の端に2通りのつなぎ方があるから等、確たる理由もなく2通り×2通り×・・・・　と計算をはじめ、大抵間違えます。たまたま答えが合っていても、もちろん類題は解けません。

また、方法論で問題を分類するという学習を進めていない生徒は、数え上げの途中でヌケやダブりに気付かずに解答に近い数字で不正解となり、「あ、数え忘れた」と、その場の不注意だけが不正解な理由だと決め付け、その後も繰り返し間違いを重ねます。

数え上げの際には、
1.まず怠けず列挙してみる　　2.列挙する際に並べ方のルールを自分でつくる　（本問の場合は、Aを起点に場合分けしています。）
という愚直さが求められます。

数式で格好よく答えがでるのは、2の作業の途中で法則に気付いた生徒です。書き出しもせずに近道を求めるような生徒に数え上げはできません。理科に限らず場合わけの問題で、書き出しもせずに問題用紙とにらめっこしている人は要注意です。

麻布中より。求められているのは直感力や発想力なのでしょうか。

高いところから静かに小石を落とすと，小石はどのように落ちていくでしょう。

　16世紀から17世紀に活躍したイタリアの学者ガリレオ・ガリレイは，この「落体の運動」について初めてくわしい実験を行い，その法則を明らかにしました。そのころの学者はみんな「重い物体のほうが軽い物体より速く落ちる」と考えていました（図1）。ガリレオは「重い物体も軽い物体も同じ高さから落とすと，同じ速さで落ちて同時に地面に落下する。」と主張して，ピサの斜塔の上から大小2つの鉄の砲弾を落とす実験をしてみせたという話が伝わっています。

　ガリレオは実験だけでなく，(1)同じ高さから物体を落としたとき，重い物体のほうが，軽い物体より速く落ちると仮定すると，矛盾が生じることを示しました。以下この矛盾について考えます。

　大きく重い鉄の球A，小さく軽い鉄の球B，そして，A，Bと大きさと重さがそれぞれ等しい2つの鉄の球を接着剤でくっつけたものをCとし（図），それらを同時に同じ高さから落とすとどうなるか考えてみます。

まずCをひとかたまりのものと考えます。

問1　下線部(1)の仮定が正しいとすると，A，B，Cはどの順で落下することになりますか。下のア～オの中から選びなさい。
ア．A，B，Cの順に落下する。
イ．A，C，Bの順に落下する。
ウ．C，A，Bの順に落下する。
エ．AとCが同時に落下し，Bが後で落下する。
オ．Aが先に落ち，後でBとCが同時に落下する。

　つぎにCを重い球の部分と，軽い球の部分の2つに分けて考えると，（2）(1)の仮定から，重い球の部分は速く落ちようとし，軽い球の部分はおそく落ちようとして，たがいに引き合うことになります。

問2　下線部(2)から考えると，A，B，Cはどの順で落下することになりますか。問1のア～オの中から選びなさい。

問3　問1，問2から考えると，「重いものが軽いものより速く落ちる」という仮定はまちがっていることになります。その理由を説明しなさい。

(麻布中・抜粋）

知識を当てはめようとせず、これまで使ったことのある「考え方」を当てはめてください。

問1　ウ
問2　イ
問3　「重いものが軽いものより早く落ちる」とすると、その仮定にもとづいてCを一つのかたまりと考えるときと、CをAとBの二つの部分で考えたときで、本来同一となるはずの実験結果が異なる。これは明らかにおかしい。よって、最初の仮定が誤っていたということが言える。

問2　大きい球の重さをG、小さい球の重さをgとする。　G＞g。

AとCをくらべる。C大きな球はCの小さな球に引っ張られるためAの球よりも遅く落ちる。　

BとCを比べる。Cの小さな球はCの大きな球に引っ張られるためBの球よりも速く落ちる。

これより、Cの球は、Bよりも速く落下し、Aよりも遅く落下する。

問3　<<とある事象が間違っていることを説明する方法>>
　　　
とある事象が正しいとして、話を続けると明らかな矛盾や、あきらかな事実との相違があることを説明。
⇒よって、とある事実が正しいという仮定がまちがっている。

～今回の問題より導かれる出題校からのメッセージ～
思考方法で分類された学習方法を確立してほしい

麻布中学や武蔵中学でよくあるタイプの問題ですが、教科書に掲載されているような問題とは全く違い、おそらく同様の問題を解いたことのある受験生はいないと思います。

見たところ、勘のいい小学校低学年・中学年の生徒でも正解できるのではないかとすら思われます。
（実際、教室では3年生で複数人正解の記述ができていました。）

麻布中は、これまでの受験勉強の内容ではなく、ひらめきや直感力、勘の良さを持った生徒を欲しているということでしょうか。

もちろんそんなことはありません。

この問題などは典型的に「論理の積み重ね」を行う訓練をしてきたか、仮設を持って話を進める訓練をしてきたか、そして、「説明する」といった作法を体系的に学習してきたか、を試している問題です。

たしかに教科書や問題集の章立て構成に従い、学習塾のカリキュラム消化につき合わされっぱなしの生徒にとってこの種の問題は大変やっかいです。

教科書の章立てでの勉強方法は確かに便利で分かりやすいです。しかし、「今日は滑車の章だから滑車の知識をつかって問題を解く」というような学習パターンが身についてしまうと、上のような問題に対して対応できなくなることがあります。

日々の学習の中で、自分が使っている思考方法をたえず意識する。
「この問題は典型的な推論問題だな」「この問題はいつもの『間違っていることを証明』するタイプだな」
e.t.c

与えられた知識分野別の章立てカリキュラムだけでなく
「思考法で分類された学習方法」を自分で実践すべきです。

桜蔭中より。なぜ、教科書から離れ、身の周りの科学を題材にするととたんできなくなってしまうのでしょうか。

自転車は2つの輪じくをチェーンでつないだ道具です。さくらさんは自転車の性質を調べるために次の実験1、2を行いました。それぞれの実験について、以下の問いに答えなさい。

［実験1］さくらさんは、ペダルをおす力と後輪が地面をおす力の関係を調べるために、図4のようなそうちを使って実験を行いました。ペダルにおもりをのせたとき、後輪に伝わる力をばねはかりではかることができます。図4は自転車のペダル、ペダルのじく、チェーン、後輪、後輪のじく、スタンド、軽いひも、定かっ車、ばねはかりを表したものです。

（1）ペダルの長さが25cm、ペダルのじくの半径が10cm、後輪の半径が30cm、後輪のじくの半径が5cmの自転車のペダルに、30kgのおもりをのせました。
　　図4の状態でつり合ったとき、ばねはかりは何kgをさしますか。ただし、ペダルのじくがチェーンを引く力は後輪のじくにそのまま伝わっているものとします。

（2）この自転車のペダルにのせるおもりはかえずに、後輪がばねはかりを引く力を大きくするには、どのような工夫をしたらよいですか。下のア～クから4つ選びなさい。
ア．ペダルのじくの半径を大きくする
イ．ペダルのじくの半径を小さくする
ウ．後輪のじくの半径を大きくする　
エ．後輪のじくの半径を小さくする
オ．後輪の半径を大きくする　　　　　　
カ．後輪の半径を小さくする
キ．ペダルの長さを長くする　　　　　
ク．ペダルの長さを短くする

［実験2］次に、さくらさんはペダルの回転数と後輪の回転数の関係を調べるために、実験1で使用したばねはかり、定かっ車を取り外し、手でペダルを回し、後輪の回転数を調べました。

（3)さくらさんがペダルを1分間に120回転させると、後輪は1分間に何回転しますか。
（4)ペダルの回転数を(3)のままで、後輪の回転数を上げるには、どのような工夫をしたらよいですか。上の(2)のア～クから2つ選びなさい。

(桜蔭中）

そもそも、滑車やテコってなんのために発明されたのでしょうか。それが分かっていると格段に解きやすいはずです。あとはいつものように、影響を要素に分解して考えます。

（1）
30kg　×　25cm/10cm　×　5cm/30cm　＝　12.5　kg　

（2）
イ、ウ、カ、キ

（3）
240回転

（4）
ア、エ

テコも綸じくも、結局は重いものを持ち上げるために発明された道具なのです。
その仕組みは簡単に言ってしまえば

「長い距離を動かすかわりに、小さい力ですませる」

というものです。まずこの視点を持つことが大事です。
この視点を持っていないと、テコで、支点に遠いほうの力が大さくなってしまうようなミスに気付かなかったり、
そもそも、この問題のように「日常的に使われてるてこの利用」ということに注意がいきません。

（1)
・ ペダルに重りをのせると、時計回りの回転をつくる力が生じ、チェーンに力が伝わります。その際、テコの原理が働きます。
チェーンに伝わる力は、半径の逆比を考えて（←ここが分からない人は、教科書で勉強するか、塾の先生に聞いてください）
　30kg　×　（25cm/10cm）　

・チェーンが時計回りに回ることによって、ばねばかりにつながれたヒモを時計回りにひく。
これも、半径の逆比　を考えて、　

　（チェーンが引く力）　　 　　　　　×　（5cm/30cm）　
⇒30kg　×　（25cm/10cm）　 ×　（5cm/30cm）　　＝　12.5　kg

(2)
（1)より、
ばねばかりの力＝（おもりの重さ）×（ペダルのながさ／ペダルじくの半径）×（後輪のじくの半径／後輪の半径）

となる。「結果への影響を構成要素に分解する」　という作業を行う。

上の式をじっとにらむと、

ペダルじくの半径は、大きければ大きいほど、ばねばかりにかかる力を小さくする。
後輪くじの半径は大きくすれば大きくするほど、ばねばかりにかかる力を大きくする。
後輪の半径を大きくすれば大きくするほど、ばねばかりにかかる力は小さくなる。
ペダルながさは、大きくすればするほど、ばねばかりにかかる力を大きくする。

ことがわかる。 これより、イ、ウ、カ、キ　が正解となる。

(3)
円周は、半径に比例するから、 回転数は半径の逆比に比例します。
（感覚的にも、大きいじくを回すと、多くのチェーンが巻き取られるのだから、小さいほうのじくは激しくまわりますね）

ペダルのじく（半径10cm）が120回転するのだから、
後輪のじく （半径5cm）は、まず、すくなくとも120回転よりも多く回転することをイメージする。
逆比の分、多く回転するのだから、　　240回転となる。

(4)
（3)より
後輪の回転数　：　ペダルの回転数　＝　ペダルじくの半径　：　後輪のじくの半径　
⇒　後輪の回転数＝ペダルの回転数　×　ペダルじくの半径　÷　後輪じくの半径

となり、後輪の回転数を上げるだめには、問題文の条件より、
後輪じくの半径を小さくし、ペダルじくの半径を大きくすればよい。　よって、エ、ア

～今 回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
式処理と日本語での説明をいったりきたりできること

「今週の1問」でよくとりあげる、「現象をいくつかの要素に分解する」という能力が今回ももとめられました。
例えば、今回の回転数をいくつかの要素に分解し、それぞれの項ごとに影響を考えました。

これは実は、とてもとてもとても大事な能力と言われ、時としてこの能力が「優秀さ」そのものとして扱われることすらあります。

大人の世界では、利益を売上と費用に分解したり、
はたまた、とある商品を開発・製造から販売まで何段階にもわけて、そのそれぞれの段階で課題を考えたり、
評価を行ったり（いわゆるバリューチェーンの考え方）ですが、やはり小学生にだって、これがもとめられているわけです。

「複雑な事象を構成要素の分解する」 これこそ、多くの場面で求められる力であるとすれば、
各界で活躍する人材を輩出するいわゆる上位校の入試でこの力が問われるのは当然といえば当然です。

そして本問の注目すべきところは、そういった式をつくるにあたって、絶えず、
「日本語でイメージ」し続ける必要性を教えてくれるところです。やはり良問です。
じくの回転数と半径は逆比になる！なんていうのは、暗記すべきことではなく、問題に当たった際に、
回転する車輪をイメージして式をつくっていくことが必要なのです。

立式や 式への分解が大事だと猛進してしまうと、暗記する範囲が膨大になったり、
ちょっとしたミスに気付かないことがよくあります。とくに、テコ、滑車、浮力、熱量は、式での処理が重要かつ有効でありますが、
式が表す現象をたえずイメージしていないと、途中でなにをやっているのだか分からなくなります。

式への分解以上に、ハイレベルな生徒にとっては、日本語で式の様子をたえずイメージすることが求められるのです。

基礎的な科学を、身の回りに利用に応用した道具の問題が近年、頻出です。
（ボート、スケボー、栓抜き、ペダル、カタパルト、エレベーターetc...）
こういった問題が苦手な生徒は、式や公式が表す現象をイメージできていないのです。

ではどうすればイメージできるようになるのか。。。　　
それは他の機会ということで。

武蔵中より。比較説明問題の必勝法をここで得てください。

袋の中に，下の表の(1)～(3)の形をした3つのピンとゴム栓が入っ ています。ゴム栓の平らな面に，それぞれのピンを1つずつ，指で奥まで刺したり扱いたりしてみなさい。刺し方と抜き方について，気づいたことを下の表にま とめなさい。図を用いてはいけません。

(武蔵中）

極端に言えば、「彼の好きなものは、りんごとみかんとイチゴとニンテンドーDSです」という説明に違和感を感じるか、そしてその違和感の原因を理解している かどうかを試されています。

「比べる視点」がそれぞれ刺し方、抜き方でそろっていることがポイントです。
上記解答例では、

刺し方
・真直ぐ指すことができるのか
・どのくらいの力が必要なのか
抜き方
・どのくらいの力が必要なのか

という視点に着目してまとめました。

つい、いろいろ気付いたことを羅列したくなってしまうものですが、
そこをぐっとこらえる忍耐力と、
「この問題は結局、比較の視点についての問題だ」
と判断できる論理的説明問題への慣れも必要ですね。

一 見、何を書いてもよく、そして何を書いていいかよくわからない自由記述のように
思えますが、こういう問題だからこそきちんとした採点基準があってしかるべきなのです。

その基準が「比較の視点がそろっているかどうか」なのです。

（日本語として文章が成立しているか。過不足ない字数を使って説明できるか。
といったことは、本問出題校を受ける受験生ならば最低条件としてクリアしているだろう
ことなのであえてここで言うことではありません。）

この問題のポイントは、

「どれだけ多くのことに気付くことができるか」

ではなく、

「どれだけ工夫して説明できるか」　　

です。

その際に、説明の基本である「比べる視点をそろえる」ということを
今ここで再確認してください。

～今 回の問題から導かれる出題校からのメッセージ～
比べる時は視点をそろえる

他者の説明を読み聞きしているとき、
切り口がそろっていないとその説明はとたん説得力を失います。

わかりにくいからです。

説明をするときは、何を比べるのか、比べるものがそろっているか
ということを徹底的に意識するだけでも、その人の説明力は飛躍的に向上します。

「モレとダブりに注意してものごとを並べる」
ロジカルシンキングの基礎中の基礎ですが、
結局論理的に話したり考えたりすることのエッセンス（本質）がこれなのだと
改めて実感させられた1問でした。