学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

地形図の読み取りとリード文の利用【対象学5年生以上】

下の地形図は国土地理院発行2万5千分の１「八ヶ岳」の一部を拡大したものです。図中のＰの滝での集水域として最も適しているものを、下の「集水域の見方とヒント」を参考にして、次のア～エから選び、記号で答えなさい。

［集水域の見方とヒント］集水域とは、水が集まってくる範囲をいいます。左図のＱのダムでは、Ａの範囲が集水域です。集水域を判断するには、右図のように地形図に描かれていない川（谷）に線を引いてみてもよく分かります。これらの川を囲む尾根（山と山との頂を結んで続く最も高いところのつらなり）の部分に線を引いた範囲が集水域であることが分かります。

問題文のヒントがそのままヒントになります。
尾根と谷は等高線が、山頂にたいしてせり出しているか、へこんでいるかで見分けます。

ア

まず、尾根と谷とは何かを考えてみましょう。尾根とは山頂から続く山の高いところの連なりです。下の写真を見るとわかりますね。そして尾根と尾根に挟まれた部分はまわりより低くなった場所でそれを谷といいます。下の写真では手前の尾根Aと奥の尾根Bに挟まれた場所が谷になるわけです。

これを等高線で見ると、尾根の部分はまわりより高くなっていますから、山頂から、張り出す形になっています。また谷は、まわりより低いので、山頂に向かってへこむような形になることになります。

下図を見てみましょう。南東のはじにある赤い●がこの地域で最も高い場所です。そこから北に向かって、標高の高い数字が並んでいるので（下図の青い●）、それを結んだ線がこの地域で最も高い尾根ということになります（下図赤い太線）。

そしてその線を基準に等高線がはりだしている部分が尾根、へこんでいる部分が谷だということです。図の細い実線部分（尾根）や点線部分（谷）がそれに当たります。太い赤線より東側の部分にふった雨は東側へ、西側へ降った雨は西側へ流れるわけです。

さて、では、問題文のヒントにしたがって、P地点の集水域を作図してみましょう。

P地点からそれより高い東側に向かって川の流れこむ谷を作図してみると、下図の太線AとBが谷になっていることがわかります。その二つの谷が、問題のヒントに与えられている川ということになります。（問題を解くだけなら不要ですが、その川に流れこむ周辺の川もいくつか描いておくと、より分かりやすくなります。（下図）

つぎに、問題のヒントにあるように、それを囲む尾根を探して、最初の太い赤線で描いた尾根までの線を引きます。
（下図）

すると、これがP地点の集水域だとわかりますから、アが正解となりますね。
ちなみにこの集水域の境界に当たる尾根周辺では、降った雨は上図の矢印のように流れますから、作図が正しいことが確認できます。

集水域など、聞いたことがないし、やったことがない、と言っていても始まりません。問題文のヒントがある以上、それにしたがって、考えを進めていくことが大切です。

近年では、このような集水域を実際、作図させるような問題も出題されるようになってきました。非常に緻密で正確な思考と作業が必要な難問ですが、一度はやっておくとよい問題です。

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ダイヤグラムの間違いを見つける【対象学5年生以上】

太田くんは自分の家から分速60ｍの速さで駅まで歩くことにしました。
しかし、30分歩いたところで忘れ物に気づき分速100ｍで忘れ物を取りに帰り、帰ったときの速さで駅まで向かいました。すると、予定より32分遅くなってしまいました。
太田くんの家から駅までは何ｍ離れていますか。

この問題を以下のダイヤグラムにしました。
しかし、以下のダイヤグラムには誤りがあります。
このダイヤグラムの誤りを指摘し、正しいダイヤグラムを完成させ太田くんの家から駅までの道のりを求めなさい。

2880ｍ離れている状態から追い越しの旅人算となる。1920ｍ離れている状態になるまでは、2880－1920＝960ｍ近づく必要がある。よって、近づくためには960÷（100－60）＝24分かかります。48分の地点から32分以上後に駅に着く予定ですが、24分後に1920ｍはなれた状態(分速100ｍで駅に着いたとき)になると考えると矛盾が起きます。
このことより、ダイヤグラムが誤っていることがわかりますね。

（誤りの指摘）ヒントを参照
（正しいダイヤグラム）
忘れ物を取りに帰っている途中に駅に分速60ｍが駅に着いている状態。

（道のり）2400ｍ

家から駅まで分速60ｍで歩き続けた場合と、忘れ物を取ってから駅まで行った距離は同じです。そのときの速さの比は（60：100）＝３：５となるのでかかった時間の比は５：３となります。この時間の比を⑤と③とします。
すると、下の図のようにまとめることができます。

上の図より、
⑤＋32(分)＝48(分)＋③となることがわかります。
②＝16分
①＝８分
③＝24分
となるので、分速100ｍで24分走るとつく距離だということがわかります。
よって、家から駅までは100×24＝2400ｍとなります。

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蛇行する川の流れの速さは【対象学4年生以上】

川の水は上流でけずりとった土や石などを中流や下流に運び、積もらせます。下の図は川の中流を表したものです。図中のＡＢでの川の断面としてふさわしいものを(あ)～(か)の中から１つ選び、記号で答えなさい。

ありません。

（あ）

「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」
誰もが知っている定理です。
しかしながら、これだけをおぼえておけばいいというわけではありませんね。
この定理からどのような帰結が導かれるかを考えておくことが大切です。


「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」ので、
外側は、より深く浸食されます。
よって、(い)(う)(お)(か)は不正解。


「蛇行する川の流れの速さは、内側にくらべて外側のほうが速い」ので、
外側では、小石・砂は運搬され、大きな石しか残らない。
よって、(え)は不正解。


以上から、正解は(あ)ですね。

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比較、考察、仮説設定、検証　論理総合問題【対象学4年生以上】

下記は、ある架空の言語（「言語Ｈ」と呼ぶことにする）の文とその日本語訳を対応させたものである。

　（例文1）fluu esa teeko 犬が猫を見る。
　（例文2）fluu esano teeko 私の犬が猫を見る。
　（例文3）zuguu sage jaoo flaqe 子供が多くの豆を食べた。
　（例文4）fluu aa sage esano 二人の子供が私の犬を見る。
　（例文5）fluu een esano teekone 私の一匹の犬があなたの猫を見る。
　（例文6）fluguu esane gubine teeko あなたの白い犬が猫を見た。
　（例文7）zuu een bee flaqe taan 一匹の猿が黒い豆を食べる。
　（例文8）fluu teekono taanno aa beene 私の黒い猫があなたの二匹の猿を見る。
　（例文9）zuu bee gubi jaoo flaqe taan 白い猿が多くの黒い豆を食べる。

　
(1)　上で示された文例から推測できるかぎりで、次の言語Ｈの文を日本語の文に翻訳した場合、どのような文となるか。最も適当なものを、下のア～コのうちから一つ選べ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　「fluguu sage ｊaoo teeko taan」

　ア　子供が多くの黒い猫を見た。
　イ　子供が多くの白い猫を見た。
　ウ　黒い猫が多くの子供を見た。　
　エ　白い猫が多くの子供を見た。
　オ　多くの子供が黒い猫を見た。
　ガ　多くの子供が白い猫を見た。　　　　　　　
　キ　二人の子供が黒い猫を見た。
　ク　二人の子供が白い猫を見た。
　ケ　黒い猫が二人の子供を見た。　　　　　　
　コ　白い猫が二人の子供を見た。

(2）　上で示された文例から推測できるかぎりで、次の日本語の文を言語Ｈの文に翻訳した場合、どのような文となるか。　　　　　　　　　　　　　　　　

　「犬が私の黒い豆を食べる。」

「違いを1つ」にして比べることを忘れないで下さい。日本語の文法からいかに離れられるか（固定観念を捨てられるか）も鍵です。

(1）ア
(2)zuu　esa　flaqeno　taanno

まずそれぞれの単語が日本語でいうと何に当たるのかを考えます。

例文1と例文2を比べることで「単語の最後に　no」がつくことで、「私の」という意味になることがわかります。

同時に「esa」が犬であることが予想できます。
（さらに同時に、teeko　fluu　のどちらかが「見る」でありどちらかが「猫」であることも予想できます。）

これと例文4からfluu　が　「見る」　であることがわかります。

これと例文3から　aa　が二人の　sage　が　子供　を意味することもわかります。

同様にしてまずそれぞれの単語が何を意味するのかを明らかにします。

fluu・・・見る
esa・・・犬
teeko・・・猫
zuu・・・食べる
sage・・・子供
jaoo・・・多くの
flaqe・・・豆
aa・・・2つの
―no・・・「私の―」（所有を表すとき）
enn・・・1つの
―ne・・・「あなたの―」（所有を表すとき）
―guu・・・過去をあらわす
gubi・・・白い
taan・・・黒い
bee・・・猿

またポイントですが、この言語Hでは
動作を表す言葉　―　主語　―　「～を」という対象を表す言葉

という語順になっており、色は単語の後ろから、数は、単語の前につくことがわかります。

ここから（1）は

　fluguu（見た） sage（子供が） ｊaoo（多くの） teeko（猫） taan（黒い）となり、正解はアとなります。

(2）については教室であつかった際に最も多かった誤答が
「犬が私の黒い豆を食べる。」

「zuu（食べる）　esa（犬）　flaqeno（私の豆）　taan（黒い）」　でした。

例文5　例文8をみると、「私の」「あたなの」という所有を表す言葉がつくときは、その物だけではなく、そのものの色を表す言葉にも「―no」「―ne」という文字が付くという言語Hの文法がわかります。（いかに頭を柔らかくし、日本語にない世界を受け入れられるかが大事です）

ですから正解は、taan（黒）にno（私の）がつく必要があり、

zuu　esa　flaqeno　taanno　となります。

比較による仮説設定から思考を積み重ねていくという論理力の訓練にとても適した問題です。

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酸性雨 【対象学年：３年生以上】

　空に浮かぶ雲は、主に海水などが蒸発することでできた水や氷の粒の集まりです。よって、雲は純粋な水でできています。この雲をつくる水の粒が合わさって地上に落ちてきたものが雨です。本来ならば純粋な水ですが、実際には酸性の性質をもった「酸性雨」が降ってきます。多くはとても弱い酸性なので害はありませんが、時に土壌などに害を及ぼすほどの酸性雨が降ることもあります。この酸性雨について、次のア～エから誤っているものを選びなさい。



ア．雨の降り始めよりも、雨が降り出してしばらくした頃の方が酸性が強いことが多い。

イ．大きい雨粒よりも、小さい雨粒の方が酸性が強いことが多い。

ウ．夕立ちのような土砂降りの雨よりも、しとしと降る雨の方が酸性が強いことが多い。

エ．火山の噴火などが起こったあとに降る雨は、酸性が強いことが多い。

　雨がどのようにして酸性を帯びるのか考えてみましょう。



























　ア

　雲は純粋な水であるのに対し、降り注ぐ雨が酸性を帯びるということから、空気中のさまざまな物質（二酸化炭素や二酸化硫黄など）が水に溶け込んで酸性を帯びると考えられます。ということは、溶け込みやすい条件を考えれば、自然と答えは決まるはずです。それをもとに、それぞれの選択肢を見てみましょう。



ア．雨の降り始めると、空気中の物質がわずかながら溶け込んでいきます。しばらくすれば、自然と空気中の物質は減りますから、だんだん酸性が弱まっていくと考えられます。

イ．同じ量の雨が降ったと考えると、小さい雨粒の方が表面積が大きくなりますから、より空気中の物質と触れ合って溶け込みやすくなると考えられます。

ウ．土砂降りのような雨では、雨粒が大きく、さらに地上に落ちるまでの時間が短くなるので、空気中の物質は溶け込みにくくなると考えられます。

エ．火山の噴火で出る火山ガスには、二酸化炭素や二酸化硫黄がたくさん含まれています。よって、そのあとに降る雨は酸性が強くなると考えられます。

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「場合分け」はこうやって使います　【対象学年：4年生以上】

2匹のキツネ（ロジー　と　ロビー）がいます。それぞれ、アカギツネかオグロスナギツネという種類のキツネです。
ただし、両方がアカギツネ、両方がオグロスナギツネかもしれません。
どちらかの種類のキツネは、絶えず嘘をつきます。またもう一方の種類のキツネはいつも本当のことを言います

さて、
ロジーは　「ぼくはアカギツネです」　と言いました。

ロジーが「ぼくはアカギツネです」と言った場合、ロビーの発言は以下の、A、B、Cのどれになりますか。

A「私はアカギツネです」

B「私はオグロスナギツネです」

C「私がどちらの種類のキツネかは上の文章からはわからないはずです」






















ありえる事実を場合分けし、そのそれぞれで考えます



















A「私はアカギツネです」といった


場合分けの力をチェックする問題です。
とある事象が2通りの場合に分けられる場合、その2通りどちらの場合からも言えることは、「確定事実」となります。

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ロジーは、嘘をついているか、正直な事をいっているのかの2通りです。

１）ロジーが嘘つきだとすると
→ロジーはオグロスナギツネ　→　オグロスナギツネが嘘つき　で　アカギツネが正直

２）ロジーが正直だとすると
→ロジーはアカギツネ　→アカギツネが正直　でオグロスナギツネが嘘つき

これより、アカギツネ→正直　　オグロスナギツネ→嘘つき　が確定
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
ここからロビーについて場合分けをします。

1）ロビーがアカギツネ（正直もの）だとすると
→ロビーは正直なので、Aの発言はできるが、Bの発言はできない

B）ロビーがオグロスナギツネ（嘘つき）だとすると
→ロビーは嘘つきなので、Aの発言はできるが、Bの発言はできない

よって、ロビーは必ずAの発言をする。
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ロビーもロジーもどちらの種類のキツネかは最後までわかりません。

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　地形図の読み取り【対象学年：5年生以上】





下の地形図は鹿児島県指宿市の一部です。地形図をよくみて、つぎの問いに答えなさい。






①　「山川発電所」はこの地域の自然との関わりが深い発電を行っています。どんな種類の発電所か答えなさい。

②　①のように考えた理由を答えなさい。

鹿児島県指宿市は指宿温泉で有名です。



























①　地熱発電所

②　地図中に「天然砂蒸し」とあるので、地中の温度が高いと考えられるから。







　「鹿児島県指宿市」から指宿温泉を連想し、地中の温度が高いから地熱発電といってもいいですが、問題文に「地形図をよくみて」「この地域の自然との関わりが深い発電」とあることから、この地域の特徴を地形図から読み取ってみましょう。

　海が近くにあります。そこで原子力発電所か火力発電所という仮説が一瞬頭をよぎりますが、
これらはもっと海につき出していますね。また、この２つのどちらかとしてもこれ以上１つに限定する条件がみつかりません。

　地図中に「天然蒸し」ということばがあります。砂に入ってあたたまる、砂蒸し風呂のことですね。
これを知らなくても、「蒸す」ということは地中の温度が高いんだなと気づきことはできるでしょう。
とすると、地熱発電所にいきつくことができます。

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　【超有名問題】囚人のジレンマ【対象学年：5年生以上】

AとBは共同で犯罪を行ったとされ逮捕されました。2人は別室に隔離されました。警官はこの2人に自白させるために、彼らの牢屋をそれぞれ順に訪れ、以下の取引を持ちかけました。

「もし、おまえらが2人とも黙秘したら、2人とも懲役2年だ。だが、共犯者が黙秘していても、おまえだけが自白したらおまえだけは刑を1年に減刑してやろう。ただし、共犯者の方は懲役15年だ。逆に共犯者だけが自白し、おまえが黙秘したら共犯者は刑が1年になる。ただし、おまえの方は懲役15年だ。おまえらが2人とも自白したら、2人とも懲役10年だ。」

つまり、
・どちらか一方が自白すれば、自分の刑は1年になり、黙っていた方は15年になる。
・両方が自白すると、2人とも懲役は10年
・両方が黙っていると、2人とも懲役2年
という条件（ルール）が提示されました。

（なお、2人は双方に同じ条件が提示されている事を知っているものとする。また、彼らは2人は別室に隔離されていて、2人の間で強制力のある合意を形成できないとする。）

ここで、Aは共犯者のBを裏切って自白すべきか、それとも黙秘すべきか判断しなさい。




















Bが黙秘した場合、裏切って自白した場合、それぞれに分けて、Aの行動を考えます。



















裏切って自白すべき




Bが裏切って自白した場合（上表：赤の部分）　
⇒　Aは自分が黙秘すると15年懲役、自白すると10年懲役。したがって、裏切って自白したほうが懲役年数は少ない。

Bが黙秘した場合　（上表：青の部分）
⇒　Aは自分が黙秘すると2年懲役、自白すると1年懲役。したがって、裏切って自白したほうが懲役年数は少ない。

Bが自白しようが、黙秘しようが、Aにとって懲役年数が少なくなるのは、裏切って自白した場合となる。したがって、Aにとっての最適戦略は「裏切って自白」となる。

（有名な「囚人のジレンマ」です。この問題は一回完結タイプであり、判断が繰り返しになる（繰り返しの回数を知っている）と違った判断が得られます。これもいつか「今週の1問」で取り上げます。）

ゲーム理論という分野の有名初歩問題です。小学生にとってもおなじみの思考パターンですね。「起きる事象を場合分けし、そのそれぞれについて検討する」。論理的な場合分けの力と、丹念に考えを積み上げる力は訓練ですぐに身につきます。

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　有名事実を確認しよう【対象学年：5年生以上】





円Oの周上を毎秒12度動く点Ｐと毎秒6度動く点Ｑがあります。点Aを同時に出発し、矢印の方向に動くとき、三角形APQがはじめて直角三角形になるのは何秒後か。

ありません。

三角形APQの辺のうち1つがOを通る、すなわち直径となったときに三角形APQは直角三角形になる。ＰとＱが180度離れるのは10秒後。このとき初めて三角形APQが直角三角形になる。

答え：10秒後

様々なテキストで、「三角形APQの辺のうち1つがOを通る、すなわち直径となったときに三角形APQは直角三角形になる」と解説されることがある本問ですが、なぜこのとき三角形が直角三角形になるのかを確認しておくことが大切です。

下の図のようにAOを通る補助線を引きます。

OA=OQなので三角形OQAは二等辺三角形となります。よって○は同じ角度となります。三角形OAPについても同様に□が同じ角度になります。それぞれの三角形の外角を考えると、○○＋□□が180度となっています。よって○+□は90度となります。三角形APQの内角のうち角PAQは○+□なので、三角形APQは直角三角形となります。

この考え方は下の図のようにPQが直径となっていなくても成り立ちます。

この図でわかるとおり、角PAQは中心角POQの半分の角度になっています。角PAQは中心角POQに対して、円周角とよばれ、常に中心角の半分の大きさになっています。円周角の定理と呼ばれるもので中学範囲ですが、全く同じ考え方で解く問題は頻出となっています。

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　対称性を利用する【対象学年：4年生以上】





１－９までのカードが、一枚ずつあります。
このカードを並べて3桁の数を作ったとき、十の位が一番大きく、つぎに百の位、一の位の数字が1番小さくなるような並べ方は何通りありますか。

まずは、書き出してみましょう。
また、あることに気づくと解くのがぐっとらくになります。

84通り

（解法１）



十の位、百の位、一の位の順に数が大きいのですから、その順に樹形図などを使って整理していきましょう。





そうすると、十の位が「９」のとき、７+６+５+…+２+１=28通り
十の位が「８」のとき、 ６+５+…+２+１=21通り
同様に、十の位が「７」のとき、 ５+４+…+２+１=15通り
「６」のとき、 ４+３+２+１=10通り
「５」のとき、 ３+２+１=６通り
「４」のとき、 ２+１=３通り
「３」のとき、 １通り

となります。
十の位が１または２の場合は百、または一の位が十の位より大きくなってしまうため、ありません。



よってこれらすべてを加えると、84通りとなります。

（解法２）



実はこの問題に関しては、９×８×７÷６=84という式でも求められます。
理由は以下の通りです。

１枚の１～９までの数字を並べてできる数字は全部で９×８×７通りあります。このうちどの３枚を選んだときも、百の位、十の位、一の位の数字の大きさは（百，十，一）の順で、
（大・中・小）（大・小・中）（中・小・大）（中・大・小）（小・中・大）（小・大・中）の６通りができます。
このうち問題の条件を満たすものは１つだけですから、全体を６で割ると答えが出ます。



このように、ある条件を満たす複数のものが、均等に散らばっている状態を「対称性がある」といいます。円卓に人が座っていくような場合などにもこういった考え方で、全体を均等に割れば答えが求まったりしますね。


また、この問題では、１～９までの数字から３枚を選んだとき、その３枚の並び方のうち、条件を満たすのは１つだけですから、結局
「１～９から３枚選ぶ選び方が何通りあるか」という組み合わせを求めるのと変わらないことになります。
こういった問題文の読みかえ、言いかえも重要な考え方のひとつです。

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