有名事実を確認しよう【対象学年：5年生以上】
円Oの周上を毎秒12度動く点Ｐと毎秒6度動く点Ｑがあります。点Aを同時に出発し、矢印の方向に動くとき、三角形APQがはじめて直角三角形になるのは何秒後か。
ありません。
三角形APQの辺のうち1つがOを通る、すなわち直径となったときに三角形APQは直角三角形になる。ＰとＱが180度離れるのは10秒後。このとき初めて三角形APQが直角三角形になる。
答え：10秒後
様々なテキストで、「三角形APQの辺のうち1つがOを通る、すなわち直径となったときに三角形APQは直角三角形になる」と解説されることがある本問ですが、なぜこのとき三角形が直角三角形になるのかを確認しておくことが大切です。
下の図のようにAOを通る補助線を引きます。
OA=OQなので三角形OQAは二等辺三角形となります。よって○は同じ角度となります。三角形OAPについても同様に□が同じ角度になります。それぞれの三角形の外角を考えると、○○＋□□が180度となっています。よって○+□は90度となります。三角形APQの内角のうち角PAQは○+□なので、三角形APQは直角三角形となります。
この考え方は下の図のようにPQが直径となっていなくても成り立ちます。
この図でわかるとおり、角PAQは中心角POQの半分の角度になっています。角PAQは中心角POQに対して、円周角とよばれ、常に中心角の半分の大きさになっています。円周角の定理と呼ばれるもので中学範囲ですが、全く同じ考え方で解く問題は頻出となっています。
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ところで、こんなのはじめました。
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