学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　うまく数えよう（場合の数）【対象学年：5年生以上】





10個のりんごをAさん、Bさん、Cさんの3人に配ります。3人がもらうりんごの数の分かれ方は何通りあるか。もらわない人がいても良い。

　一列に並んだ10個のりんごを想像してください。Aさんが左からいくつ取るかを決め、「ここまで貰う」という印で線を引きます。つぎにBさんが残りのりんごについて左からいくつ取るかを決めて線を引き、残りをCさんが取るという作業で貰う個数を決めていきます。

　12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めればよく　12×11÷（2×1）＝66通り

Aさんが3個、Bさんが4個、Cさんが3個貰うとすると、並んだりんごにはは次のように線が引かれています。

◯◯◯｜◯◯◯◯｜◯◯◯

Aさんが0個、Bさんが4個、Cさんが6個貰うとすると次のようになっています。

｜◯◯◯◯｜◯◯◯◯◯◯

Aさんが2個、Bさんが0個、Cさんが8個貰うとすると次のようになっています。

◯◯｜｜◯◯◯◯◯◯◯◯

つまり10個の◯（りんご）と2本の｜合わせて12個をどのように並べるかを考えればよいことがわかります。

これは、12個の空欄のうちどこの2つに｜を入れるかを考えればよいので12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めます。

この「仕切りの線」を考える方法は様々な場面で応用できます。

中学入試では、「A、B、Cの3つの箱に10個のボールを入れる入れ方は何通りか」という設定が多いですね。

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　対偶を利用しよう【対象学年：４年生以上】





　つぎのＣの結論がいえるためには、Ａ，Ｂのほかにどの条件が必要か。

適当なものを１～５の中から１つ選び、記号で答えなさい。



Ａ：理知的でない人は、判断力をもっていない。

Ｂ：企画力のある人は、理知的でない。

Ｃ：したがって、企画力のある人は判断力をもっている。



１　企画力のない人は、理知的な人ではない。

２　企画力のない人は、判断力のない人である。

３　判断力のない人は、理知的な人ではない。

４　判断力のある人は、理知的な人である。

５　理知的な人は、企画力をもっている。

　ありません。

　３

　Ａ～Ｃのなかで、Ａの「～でない人は～ない」の表現は、ほかと比べにくい。

選択肢１，２，３も同様です。

　このようなときには、対偶を用いて表現をそろえてやるとわかりやすくなります。



対偶とは、

「ＰならばＱである」があるとき、

「Ｑでなければ、Ｐでない」ことが

成り立つことをいいます。



たとえば、Ａの「理知的でない人は、判断力をもっていない」は、

「判断力をもっている人は、理知的である」といえるのです。

とすると、Ａ：判→理、Ｂ：企→理、Ｃ：企→判

よって、Ｃの結論がいえるためには、Ｂを利用して、企→理→判　が必要なことがわかります。


　
　ここで、理→判　を選択肢からさがすことになりますが、

　１：理→企（対偶）

　２：判→企（対偶）

　３：理→判（対偶）

　４：判→理

　５：理→企

となっているので、正解は３ですね。

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　実験問題は結果を予想しながら読み解く【対象学年：4年生以上】

　昼間、明るく暖かいところで大きく開いていたチューリップの花が、夕方、うす暗く寒くなると、同じ花と思えないほど閉じていました。そこで、チューリップの花の開閉は光によるものか、温度によるものかを調べてみました。

　チューリップの花の聞き方を図に示した角度で表し、この開いての角度を角度と呼ぶことにします。

『実験２』 十分に明るい、温度20℃のところに置いた、角度100度のチューリップの花は、明るさを変えないで温度を7℃にすると閉じ始め、やがて角度65度になり、そのままの状態が続きました。
　また、十分に明るい、温度７℃のところに置いた、角度65度のチューリップの花は、明るさを変えないで、温度を20℃にすると開き始め、やがて角度100度になり、そのままの状態が続きました。

『実験３』 花の開閉のしくみをくわしく調べるために1枚の花びらを取り、その根もとから内側と外側の２枚にはがしました。この2枚にはがした花びらを水にうかべ、これを『実験２』のように温度を20℃～７℃へ、また、 ７℃から20℃へ変化させ、2枚にはがした花びらの長さを測りました。その結果、長さの変化はグラフのようになりました。

以上３つの実験からチューリップの花の開閉について、次のような結論をだしました。
文の(1) -(10)に入る適当な語を下のア~スから選んで、記号で答えなさい。

チューリップの花が聞いたり閉じたりするのは、 ( １ )に反応して開くのではないことが実験( ２ )から分かりました。( １ )ではなく( ３ )の変化に反応して開くことが実験( ４ )で明らかになりました。花が開くのは( ５ )から( ６ )に移されたときであり、このような( ３ )の変化があったときに、花びらの成長が( ７ )のほうが( ８ )より大きいためです。このことは、実験( ９ )が示しています。したがって、 ( ３ )の変化によって開いたり閉じたりして、花びらは少しずつ(10 )なります。

ア.大きく　　イ.小き 　　ウ.1 　　エ.2 　　オ.3 　　カ.温度　　 キ.光 　 ク.明るいところ 　　ケ.暗いところ 　　コ.高温のところ 　　サ.低温のところ 　　シ.外側 　　ス.内側　 　　　

（桜蔭中）

実験２は明るさが固定され、温度を変えることでチューリップが開花していることがわかります。

実験３では、温度を下げると（左側のグラフ）、外側が大きく成長し、また、温度を上げると（右側のグラフ）内側が成長することを読み取ります。従って、温度を20℃から7℃にした際は、花の外側が成長し、花は閉じます。

温度が上がろうが、下がろうが、花全体でみると成長しています。従って花は大きくなります。

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実験結果から物事を考察する力を試す良い問題です。漫然と起きていることから穴埋めをするのでなく、それぞれの実験結果が何を表すのか考え続けた生徒とそうでない生徒に大きな差がついたのではないでしょうか。

こういった問題を解くコツは「結果を予想しながら問題文を読み解くこと」

考えてもみて下さい。普段の教室の実験でも「どうなるのだろうか」と考えながら参加するのと、なんとなくグループの中で言われたとおりに作業に参加するのでは、考察にたどりつくべく理解度が大きく変わります。試験でも擬似的に積極的に実験に参加する自分を意識してみて下さい。

「なにが起きているのか」集中力を切らさずに問題文・条件を読み込む姿勢が求められます。
読解力が要されるのは国語ではなくむしろこういった複雑な実験問題でしょう。

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　暗号「雲雲歌白夕」【対象学年：2年生以上】





　ある暗号によれば、「おに」は「青兄」、「たいじ」は「歌貝味」と表される。

それでは「雲雲歌白夕」は何を表しているか。

　ありません。

　ももたろう

漢字2文字がひらがな2文字に、漢字3文字がひらがな3文字に変換されています。



そこで、この暗号は

漢字1文字とひらがな1文字が何らかの関係に立っている

のではないかと仮説をたててみましょう。



漢字をひらがなにするには、「読み」がもっとも一般的です。

「青」＝「あお」、「せい」……、「兄」＝「あに」、「けい」……

ここで、「おに」をさがしてみると、訓読みしたひらがなの最後の文字が「お」「に」になっているのがわかります。



そこで、この暗号は

訓読みしたひらがなの最後の文字をつないだもの

ではないかとさらに仮説をたてることができます。



「歌貝味」で検証してみましょう。

「歌」＝「うた」、「貝」＝「かい」、「味」＝「あじ」。最後の文字をつなぐと「たいじ」となります。

仮説は正しかったといえましょう。



では「雲雲歌白夕」を解読してみましょう。

それぞれの漢字を訓読みすると

「雲」＝「くも」、「雲」＝「くも」、「歌」＝「うた」、「白」＝「しろ」、「夕」＝「ゆう」

最後の文字をつなぐと

「ももたろう」ですね。

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　気体の集め方【対象学年：5年生以上】





　アンモニア水を加熱したり、塩化アンモニウムと水酸化カルシウムを入れて加熱すると、アンモニアが発生します。このアンモニアを集める方法として正しいものを、次のア～カから選びなさい。

　アンモニアの性質もさることながら、ア～ウとエ～カのちがいを考えてみましょう。

イ

　まず、アンモニアはとても水に溶けやすく、空気よりも軽い気体です。気体の集め方は大きく分けて３種類あり、以下の通りです。

◎水上置換法・・・水に溶けにくい気体を（純粋な状態で）集めるとき
◎上方置換法・・・（水に溶けやすく）空気より軽い気体を集めるとき
◎下方置換法・・・（水に溶けやすく）空気より重い気体を集めるとき

　これより、アンモニアは上方置換法で集めることになりますが、選択肢を見るとイとオで迷う生徒が散見されます。ちょっとした違いに感じるかもしれませんが、実はこの区別ができるかどうかで、きちんと気体の集め方を「理解」できているかどうかがわかります。
　
　上記の３つの集め方は、すべて「置換」法です。これは、もともと集気びんの中にあったものを、集めたい気体に置き換えるからこう呼ばれるのです。
　つまり、上方・下方置換法では空気を追い出す必要があり、水上置換法では水を追い出す必要があるのです。
　よって、ゴム栓をしてしまうと追い出すことができずに、気体を集めることはできません。

　※ちなみに、水上置換法でもしはじめに集気びんの中を水で満たさなかった場合、どうなるでしょうか？
　水圧により集気びんの中の空気を追い出すことができないので、当然集めたい気体は入っていくことができません。だから、水上置換法ではまず集気びんの中を水で満たすのですね。

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　既存知識に頼らずに実験から考察する(灘中より）【対象学年：4年生以上】





植物は種をまいてから一定の時間が経過すると花がさくと思われがちですが，実際には冬をこして昼の時間が長くなると花をつけるものや，夏至以降，秋にかけて昼の時間が短くなるとつけるものもあります。

これらの植物では，昼夜の長さを葉で感じているようです。そこでよく知られているアサガオがどのような光の条件で花をつけているのか調べるために次のＡ～Ｆの実験で調べました。

ただし調べるアサガオはある１つの品種に限定し，光以外の条件はすべて同じにして，それぞれの実験において10個の植木鉢で結果をみました。

この結果にもとづいて以下の問いに答えなさい。

（1）
実験から導かれる結論について述べた次の文章で，｛　｝はどちらかを選び，（　）には適当な値を整数で答えなさい。

（2）
下の図はハワイでの日照時間のうつりかわりを表したものです。「種が発芽して，葉が出たばかりのアサガオの鉢植え」を日本から，いきなりハワイに運んだ場合，どのように　なりますか。（1)から導かれた開花の特徴から考えて，次のア～エから選びなさい。

ア　いつまで待っても花はさかない。　
イ　６～７月に移動したのであれば花芽ができ，さき始める。
ウ　６～７月以外に移動したのであれば花芽ができ，さき始める。
エ　何月であっても花芽ができ，さき始める。　

　　　　　　　　
(3)
キクはアサガオと同じように光の条件がととのうことで９月の上旬に花芽ができ，10月の下旬に開花します。このキクを正月に出荷するためには，花芽の形成自体を遅らせる必要があります。どのような処理をすればよいか20字以内で答えなさい。ただし温度条件は考えなくてよろしい。

　ありません。

（1）イ、エ、９、オ

（2）エ

（3）夜間に電灯でキクに光をあてる

（1）
与えられた実験結果から、開花に影響を与えるのは夜の長さだとわかります。B、E、F　を比較すると昼の長さが関係ないことがわかるはずです。

AからCより、その夜の時間が少なくとも9時間必要であることがわかり、また、DとEを比べることで、開花に必要なのは夜の時間の合計ではなく、連続時間だということがわかります。　

物事を比較するときのコツを身につけましょう　⇒　参考

（2）
グラフよりハワイでの夜の時間は絶えず10時間以上とわかる。　（1日は24時間であり、日照時間が最長でも14時間　）

（3）
（1）～（3）を通して「示された実験結果から仮説を導き、その仮説をもとに問題を解く」　というタイプの思考力問題です。

既存の知識は意味を持たず、その場で仮説を組み立てる必要があるという意味で、受験生の思考力を測る良問だと思います。

こういった問題に対し、「こういうの習ってないからわからない」という反応をした生徒は勉強方法を大きく変えないと、そもそもどれだけ勉強時間をとっても成果はあらわれません。

実験結果から仮説を導きそれを応用して未知の問題を解くというプロセスになれていれば、2年生、3年生でも解答できますね。　（問題文を噛み砕いて説明する必要はあるでしょうが）

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　倍数にするための過不足について、感覚を磨きましょう。





　ある整数に７をたすと11で割り切れ、11をたすと７で割り切れます。
このような整数のうち、５番目に小さい数を求めなさい。

　倍数の問題ですね。

　367

　ある整数に７をたすと11の倍数になります。これに11を加えても11の倍数のままです。
（つまり、ある整数に18をたすと11の倍数になるということです）

また、ある整数に11をたすと７の倍数になります。これに７を加えても７の倍数のままです。
（つまり、ある整数に18をたすと７の倍数になるということです）

これより、ある整数に18をたすと７と11の公倍数になるので、ある整数は77×□－18と表せます。
よって、答えは77×５－18＝367となります。

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　テキスト学習の弊害は、初見問題に手が出ないことです。





　下の図１は、東京で南の空に見えた月を表しています。このような形の月を「三日月」とよびます。

いま、図２のように月の最も上に位置する点をＡ、最も下に位置する点をＢとします。
あなたが宇宙飛行士になって月のＡ点に着陸したときのことを考えます。着陸したＡ点からＢ点まで最短で行くにはどのようなルートを通ったらよいですか。

最も適当なものを、次のア～エから選び、記号で答えなさい。

ア．曲がり方が大きいので、ルート１が最短になる。
イ．曲がり方が小さいので、ルート２が最短になる。
ウ．ルート１、２どちらも最短になる。
エ．この図だけでは、わからない。

　月は球体です。

　ウ

　図のような平面の模式的な図では、曲がり方が小さいルート２の方が最短になるように見えますが、実際に月は球体です。ルート１も２も、月の周の半分に他なりませんから、どちらでも同じということになります。（地球でいえば、北極から南極まで経線にそって南下すれば、どこでも同じですね）

　さて、月の満ち欠けの問題は、中学入試の理科で頻出です。天体分野は苦手にする生徒が多く、その結果いろいろと丸暗記にはしりがち（指導者も含めて）です。満ち欠けして見える月の形も、ペーパー学習では平面の模式的な図ばかり登場し、結果その図しか頭に入っていない生徒も少なくありません。せっかくの壮大な宇宙の一部の学習ですから、きちんとイメージをもって学習を積んでもらいたいものです。

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太さが一様な棒でも、面白い問題が存在します。

　太さ（直径）12cm、長さ２ｍの棒があります。この棒は太さは一様ですが、いろいろなものをまぜて作ったため、重心が棒の中心ではありません。重心の位置を探すためにいろいろな位置をばねばかりでつるしたところ、図１のように右はしから80cmのところで棒が水平になってつりあいました。このとき、ばねばかりは1680ｇを示していました。

　この棒の重心から左へ70cmはなれたところに、ある重さのおもりをぶらさげたところ、図２のように棒が30度かたむいて静止しました。このとき、おもりは何ｇですか。

　おもりの力、ばねばかりが持ち上げる力のほかに、どのような力がありますか？

　72ｇ

　まず、図１でばねばかりをつけた位置を点Ｐとします。このとき水平につりあっていることから、この棒の重心は棒の右はしから80cmのところにあり、この棒の重さは1680ｇであることがわかります。
ここで、注意しなければならないのは「重心は点Ｐではない」ということです。この棒には一様な太さがありますから、重心は点Ｐから６cm（直径12cmの半分）下にあることになります。

　図２のように、棒を点Ｐを中心に回転させると下の図のように重心の位置が点Ｐの真下ではなく、右側にずれてしまいます。これにより、点Ｐよりも左側におもりをぶら下げることで再度つりあわせることができたのです。

　ここまでわかれば、あとは単純なてこの計算です。重心が右にずれたきょりは、６cm÷２＝３cmですから、点Ｐを支点とすればおもりと重心までのうでの長さ（水平きょり）は70：３となります。
よって、力はこの逆比で３：70ですから、おもりの重さは1680ｇ÷70×３＝72ｇです。

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一瞬のできごとに、ごまかされてはいけません。

　机の上に10円玉と500円玉を置き、それぞれを衝突させる実験を行いました。
［実験１］図１
　１枚の10円玉（Ａ）を机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｂ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｂはその場に静止し、Ａは左へ動き出した。
［実験２］図２
　１枚の500円玉（Ｃ）を机の上に静止させておき、１枚の10円玉（Ｄ）を指ではじいて右から衝突させたところ、Ｃは左へ動き出し、Ｄは右へ動き出した。

　これをもとに、下の図３のように１枚の500円玉（Ｘ）と１枚の10円玉（Ｙ）を一列にならべて机の上に静止させておき、別の１枚の10円玉（Ｚ）を指ではじいて右からＹに衝突させると、どのように見えますか。次のア～エから選びなさい。

ア．Ｚが、ＸとＹをはじき飛ばしたように見える。
イ．Ｙが、ＸとＺをはじき飛ばしたように見える。
ウ．ＸとＹにより、Ｚがはじき飛ばされたように見える。
エ．Ｘにより、ＹとＺがはじき飛ばされたように見える。

　一瞬ですが、全部で３回の衝突が起こっています。

　イ

　まず、はじめの衝突はＹとＺです。

実験１の結果より、衝突後Ｚはその場で静止し、Ｙは左に動き出すことになります。
しかし、左にはＸがいるので、ここでＸとＹが衝突します。
これが２回目の衝突です。

実験２の結果より、衝突後Ｘは左へ動き出し、Ｙは右へ動き出します。
しかし、Ｙの右にははじめの衝突で静止したＺがいるので、ここでＹとＺが再び衝突します。
これが３回目の衝突です。

実験１の結果より、衝突後Ｙはその場で静止し、Ｚは右へ動き出すことになります。

　これが実際には一瞬で起こるわけですから、ＺがＸをはじき飛ばし、さらにＺ自身が後退していくように見えますね。まるでＹがＸとＺをはじき飛ばしたかのように。

　さて、実際に衝突した状態を想像してみることも大切ですが、それは経験がないとなかなか難しいでしょう。この問題では、たった一瞬の衝突であっても、その間に３回の衝突が起こっており、それらがすべて実験の結果で説明できるところがポイントです。

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