対称性を利用する【対象学年：4年生以上】
１－９までのカードが、一枚ずつあります。
このカードを並べて3桁の数を作ったとき、十の位が一番大きく、つぎに百の位、一の位の数字が1番小さくなるような並べ方は何通りありますか。
まずは、書き出してみましょう。
また、あることに気づくと解くのがぐっとらくになります。
84通り
（解法１）
十の位、百の位、一の位の順に数が大きいのですから、その順に樹形図などを使って整理していきましょう。
そうすると、十の位が「９」のとき、７+６+５+…+２+１=28通り
十の位が「８」のとき、 ６+５+…+２+１=21通り
同様に、十の位が「７」のとき、 ５+４+…+２+１=15通り
「６」のとき、 ４+３+２+１=10通り
「５」のとき、 ３+２+１=６通り
「４」のとき、 ２+１=３通り
「３」のとき、 １通り
となります。
十の位が１または２の場合は百、または一の位が十の位より大きくなってしまうため、ありません。
よってこれらすべてを加えると、84通りとなります。
（解法２）
実はこの問題に関しては、９×８×７÷６=84という式でも求められます。
理由は以下の通りです。
１枚の１～９までの数字を並べてできる数字は全部で９×８×７通りあります。このうちどの３枚を選んだときも、百の位、十の位、一の位の数字の大きさは（百，十，一）の順で、
（大・中・小）（大・小・中）（中・小・大）（中・大・小）（小・中・大）（小・大・中）の６通りができます。
このうち問題の条件を満たすものは１つだけですから、全体を６で割ると答えが出ます。
このように、ある条件を満たす複数のものが、均等に散らばっている状態を「対称性がある」といいます。円卓に人が座っていくような場合などにもこういった考え方で、全体を均等に割れば答えが求まったりしますね。
また、この問題では、１～９までの数字から３枚を選んだとき、その３枚の並び方のうち、条件を満たすのは１つだけですから、結局
「１～９から３枚選ぶ選び方が何通りあるか」という組み合わせを求めるのと変わらないことになります。
こういった問題文の読みかえ、言いかえも重要な考え方のひとつです。
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ところで、こんなのはじめました。
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