周期がうまれる仕組みを考えます。
1,1,2,3,5,8,13,21,・・・・・・
上記の数列を1000番目まで並べたとき、一の位が7である数は全部でいくつあるでしょうか。
「1000番目」まで考える問題ですから、当然周期の発見が鍵になります。
前の2つの数を足して新たな数を作っていくフィボナッチ数列と呼ばれるものです。
その仕組みから、一の位だけに注目してもフィボナッチ数列となっています。
1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0
以上周期60となっている。この中に7は8個あるので、
1000÷60＝16あまり40
あまりの40の中に7は6個あるから
8×16＋6＝134
答え：134個
本問のような長大な周期はここ数年の流行です。
周期が数十ともなると、自分の書き出しに不安を覚えますし、見落としがちにもなります。
ポイントは周期を生み出す仕組みを考えることです。
本問では周期を
1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0
7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0
9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0
3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0
と整理して考えます。
実は11から始まった数列の途中に77が出てきた時点で周期が計算可能となります。
この数列ははじめの2つの数によって全体が決まります。
つまり1行目の最初の2つの11が7倍の77となった2行目の数列は1行目の7倍の数がならぶのです。
このように考えると3行目は77を7倍して99（7×7＝49の一の位の9です。）
4行目はさらにその99を7倍して33、そして5行目は33を7倍して11となり、周期が判明します。
このように周期を書き出しによって視認するだけでなく、
数の並びの仕組みに注目して計算するという姿勢は長大な周期を判定するのに重要なのです。