「連続する整数」の持つ様々な性質に注目します。
8=3+5
45=13+15+17
45=5+7+9+11+13
のように連続する奇数の和で表すことができる整数があります。495を連続する奇数の和で表す方法をすべて書きなさい。
「連続する数」の扱いには共通の手法があります。
奇数の和が495という奇数になるので、足し算に使う数の個数は奇数となる。
また、連続する奇数個の奇数の和は、平均となる真ん中の奇数×個数で求めることができる。
495=3×3×5×11より、求める奇数の個数は3個、5個、9個、11個、15個、33個、45個・・・など495の約数個を考えればよい。
3個の場合、495÷3=165より真ん中は165となり、3つの奇数は163、165、167となる。
5個の場合、495÷5=99 より真ん中は99となり5つの奇数は95、97、99、101、103となる。
9個の場合、495÷9=55 より真ん中は55となり9つの奇数は47、49、51、53、55、57、59、61、63となる。
11個の場合、495÷11=45より真ん中は45となり11個の奇数は35、37、39、41、43、45、47、49、51、53、55となる。
15個の場合、495÷15=33より真ん中は33となり15個の奇数は19、21、23、25、27、29、31、33、35、37、39、41、43、45、47となる。
33個の場合、495÷33=15より真ん中のは15となるが、15を中心として33個の奇数を並べることはできない。（小さい方向に16個の奇数を並べようとすると0より小さい数が出てきてしまう。）
これ以上の連続する奇数を考えると同様になる。よって答えは、上記に示した5通り。
「連続する整数」の和というのは（最初+最後）×個数÷2という計算手法は有名ですが、その仕組みをしっかりと確認していないと、今回の応用は難しかったのではないでしょうか。
連続する整数の列において、（最初+最後）÷2の意味は平均です。棒グラフにしてみると直感でも理解できるはずです。また連続する数とその和というのは偶奇やその個数など以外と制約が多いことも覚えておきましょう。一見、条件が足りないように見えてもそれらの条件から答えを絞り込むことが可能となります。