周期がわかれば、世界が広がります。
大きさのちがう砂時計Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａの砂時計は、砂が全部落ちるまでに３分かかり、Ｂ、Ｃはそれぞれ５分、８分かかります。
いま、砂が全部落ちた状態のＡ、Ｂ、Ｃを並べて同時にひっくり返し、それぞれ砂が全部落ちるたびにすぐにひっくり返すことを繰り返します。ただし、Ａだけは全部砂が落ちたときに限らず、Ｂ、Ｃをそれぞれひっくり返すたびに一緒にひっくり返すことにします。
スタートのひっくり返しは数えないものとして、１時間の間にＡは何回ひっくり返されますか。
繰り返すのですから・・・？
36回
まず、ある操作を繰り返すわけですから、必ず周期があるはずです。その周期が見つかるまで、とりあえず書き出してみます。
しかし、ここで注意しなければならないのは、ＢとＣの単純な周期に比べ、Ａはかなり複雑です。例えば、１分だけ砂を落とした状態でひっくり返すと、再び１分で砂は落ちきってしまいます（図）。例えば、下の表で３分のときにひっくり返ったＡが５分のときにＢと同時にひっくり返るため、２分ぶんの砂が落ちています。よって、このＡをひっくり返すことでＡはまた２分後（つまり７分のとき）に砂が全部落ちてひっくり返ることになることを表しています。これにしたがって、ていねいに表をつくっていけば、40分の周期で繰り返されることがわかります。
40分の間にＡがひっくり返るのは24回あり、残りの20分の間に12回ありますから、全部で36回となります。
このように、周期がわかることでその先は調べることなく求めることができます。例えば、１日（24時間）砂時計をひっくり返し続けた場合、1440分÷40分＝36ですから、24回×36＝864回と計算で求めることができるのです。
調べ上げる問題で周期を見つけることは、とても重要なスキルといえるでしょう。
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ところで、こんなのはじめました。
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