規則性の発見と誘導の利用 【対象学年：4年生以上】
１、２、３、・・・と番号がかいてあるカードが、上から番号の小さい順に重ねてあります。『一番上のカードを捨てて、その次に一番上になったカードを残りのカードの一番下に入れる』という操作を繰り返すとする。次の問いに答えなさい。
（１）カードの枚数が32枚の時、最後まで残るカードの番号はいくつですか。
（２）カードの枚数が1100枚の時、最後まで残るカードの番号はいくつですか。
（慶応義塾湘南藤沢中・改題）
（２）に関しては、（１）をうまく利用できないかどうか考えてみましょう。
（1） ３２ （２）152
（１）操作の手順にしたがってやってみましょう。
（1.2.3.4.・・・29.30.31.32）と並んでいる中で、１が取られて、２がうしろに、３が取られて４がうしろに・・・となるので、カードが一周したときを考えると、偶数が１６枚残ります。
次に、（2.4.6.8.・・・26.28.30.32）と並んでいる中から、２が取られて４がうしろに、６が取られて８がうしろに・・・となるので、再度カードが一周したとき を考えると、 ４の倍数が８枚残ります。
よってこの時点で（4.8.12.16.20.24.28.32）が残っています。
ですから、同様の操作を繰り返すと（8.16.24.32）→（16.32）→32となり、最後に32が残りますね。
（２）（1）より、32枚の時には、32が残ります。
では、64枚（32×2）のときを考えてみましょう。64枚のカードをこの操作で一周させたときには（2.4.6.・・・60.62.64）の３２枚のカードが残ります。
ここで、32枚のカードがある時には、その最後の1枚が残るわけですから、64が残る、すなわち64枚のカードがある時には64が最後に残ることにな ります。
同様に、128枚、256枚、512枚、1024枚の時にも、それぞれその最後の数字のカードが残ることがわかります。
よって1100枚から76枚取り除き、残りが1024枚になったときに、最後にある数字が求める答えとなります。
76枚取り除いたときに、いちばんうしろに来る数字は76×2＝152ですから、152が最後に残る数字となります。
もちろん、この問題を書き出しによって求めることも可能ですが、（1）で少ない数での実験をやらせた後に、法則を発見させ、（２）でそれを使って考えさせるという問題は数多く出てきます。何とか（1）をうまく使えるような法則がないかどうか、考えてみることが大切です。
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