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W3:ひっかかりやすい問題 アーカイブ

2010年03月16日

直感だけに頼ってはいけませんね 2010-03-16




 直感だけに頼ってはいけませんね





 2つのサイコロがあります。これらのサイコロの6つの面は、どちらも次のように色がぬられています。
・赤・・・3つの面
・青・・・2つの面
・黄・・・1つの面
 さて、この2つのサイコロを同時にふって色の組合せを考えたとき、もっとも高い確率で出てくるのはどの色の組合せですか。

 























 ありません。



















 赤と青



 組合せは全部で36通りですから、次のように表にまとめれば簡単です。
それぞれのサイコロには赤が最も多くぬられていますが、組合せにすると赤と青の方が多くなりますね。










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2010年03月09日

こん虫の足は、なぜ6本なのでしょうか? 2010-03-09



 こん虫の足は、なぜ6本なのでしょうか?

 次の図は、こん虫のからだを簡単に表したものです。6本の足をそれぞれ1~6とするとき、1と一緒に動かす足として正しいものはどれですか。次のア~エから選び、記号で答えなさい。
ア.2と3
イ.2と4
ウ.3と4
エ.3と5

 























 動くためには、からだを支えて足を出す必要があります。










 エ



 まず、こん虫の足が2本だったと考えてみましょう。こん虫は体を支えるための骨格がない(外骨格)ため、片方の足をあげた際に体を支えることができずたおれてしまいます。つまり、体を支えつつ足を出すようにしなければ、うまく動くことができないのです。

 仮に左右2本ずつ計4本の足だった場合、2本の足で体を支え、残りの2本の足を出していくことになりますが、1つの面(地面)を2本の足で支えるのも不十分です。3点で平面が1つ決まるのと同様に、地面で支えられるためには最低3本の足が必要になりますから、左右対称に3本ずつ計6本足が必要なのです。

 また、左右の足を交互に出していくわけですが、1と2と3を同時に出すわけにはいきません。この場合、地面についている足は4と5と6の3本ありますが、一直線に並んでいるためにうまく支えることができないのです(一直線上に並ぶ3点では平面は決まりません)。つまり、同一直線上にない3点になるような足の出し方は、選択肢のうちイ(1・2・4)、ウ(1・3・4)、エ(1・3・5)ですが、左右の足の出し方の対称性を考えると、エが適当になるのです。


 

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2010年01月12日

よく読んでください。(2010年・開智中先端A改題) 2010-01-12



よく読んでください。(2010年・開智中先端A改題)

  100kg集めたほこりと、100kg分の鉄は、どちらが重いですか。
次のア~エから選び、記号で答えなさい。

 ア.ほこり
 イ.鉄
 ウ.どちらも同じ
 エ.これだけでは比べることはできない
























 ありません。










 ウ



 100kg分のほこりを集めたら、鉄に比べて相当な量になりますね。
しかし、どちらも100kgですから、重さは同じです。(体積は異なります)

 体積と重さに関する問題は、理科では頻出です。
特に、状態変化(固体、液体、気体の変化)の間では、重さは一定で体積のみ変化することから、同じ体積で重さを比べることが多々あります。このように、1立方cmあたりの重さを「密度」とよび、これに関する内容が開智中で出題されました。

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2009年12月22日

意外に知られていない問題です。 2009-12-22



意外に知られていない問題です。

 地球上にある海水は、太陽や月の引力などの影響を受けて移動します。
これにより、潮の満ち干が生じ、1日の中で同じ地点にもかかわらず海水面の高さが変化するのです。

下の図は、太陽と月が一直線にならんだときのようすを表しています。太陽と月の引力の影響だけを考えると、この図のように1日のなかで潮の満ち干は1回しかありませんが、実際は2回あります。その理由として最も適当なものを、次のア~エから選びなさい。

ア.海では波が起こるため、潮が満ちたり干いたりするから。
イ.海底には浅い部分と深い部分があるため、海水面の高さが変わるから。
ウ.温度の変化により、海水の体積が変化するから。
エ.地球にはたらく遠心力により、海水が移動するから。
























 ありません。










 エ


 消去法で処理が可能です。

 ア.波で満ち干するのであれば、1日に数え切れないほどの回数だけ満ち干が起きてしまいます。

 イ.海底の深さが異なっても、水面の高さには影響ありません。海底の深さが深いところほど海も深くなるだけです。

 ウ.温度の変化による水の体積変化は、微々たるものでしかありません。これにより、海水面の高さが数センチも変化するとは考えにくいですし、たとえ変化があったとしても問題の図で満ちている部分が(太陽であたためられるので)より盛り上がるだけです。

 これより、答えはエとなります。地球にはたらく遠心力によって、問題の図で満ちている部分の反対側にも海水が移動し、下の図のようになるのです。


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2009年12月15日

正確に場合が分けられますか? 2009-12-15



正確に場合が分けられますか?

 あるクラスで、代表者1人と、書記2人(男子1人、女子1人)を選ぶことになりました。立候補したのは、男子4人と女子3人です。このとき、選び方は全部で何通りありますか。
























 積の法則・和の法則を正しく使い分けます。










 60通り



 代表者を選ぶのは7通り、書記男子を選ぶのは4通り、書記女子を選ぶのは3通りなので、7×4×3=84通りとするのはNGです。
 まず、代表者を1人選んだ段階で、書記になれる男子、女子は4人、3人いません。

 次に、このような誤答です。
 代表者を選ぶのは7通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子も候補を1人減らして2通りなので、7×3×2=42通り。
 代表者を1人だけ選ぶのに、書記の男子、女子ともに1人減ることはありません。

 さらに、次のような誤答も考えられます。
 代表者を選ぶのは7通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子は候補を減らしていないので3通りとなり、7×3×3=63通り。
 これでは、代表者が男子と決められています。よって、代表者を選ぶときに7通りも考えられません。
 また、男子ではなく女子を減らした7×4×2=56通りも、同様な誤りです。

 つまり、代表者を任意の7通りにした場合、それが男子なのか女子なのかで、その後の書記の選び方が変わってきます。

 よって、まず代表者を男子にするか女子にするかで場合を分けて考える必要があるのです。

1)代表者が男子の場合
 代表者(男)を選ぶのは4通り、書記男子は候補を1人減らして3通り、書記女子は候補者を減らしていないので3通りとなり、4×3×3=36通りとなります。
2)代表者が女子の場合
 代表者(女)を選ぶのは3通り、書記男子は候補を減らしていないので4通り、書記女子は候補を1人減らしているので2通りとなり、3×4×2=24通りとなります。
 これより、36+24=60通りとなります。

 ちなみに、男子も女子も選ばれる可能性のある代表者を先に選ぶと、このように場合分けが必要になりますが、以下のように男子、女子が決められている書記から選ぶことで、場合分けは不要になります。
 書記男子を選ぶのは4通り、書記女子を選ぶのは3通り、代表者は候補を2人減らして5通りなので、4×3×5=60通りとなります。

 きちんと場合分けをするか、場合分けのないように工夫するか、これはどちらがよいという訳ではありません。その状況に応じて、処理をしていくことが大切です。
 ※特に、場合分けをしなければ「おかしい」「何か変だ」「気持ち悪い」という感覚をもてるかどうかが重要です。

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2009年12月08日

与えられた情報から、必要なものを見抜けますか? 2009-12-08



与えられた情報から、必要なものを見抜けますか?

 下の図は、ある晴れた日の1日の気温・地温の変化と、太陽高度の変化を示したものです。地面は、太陽からの熱を受けてあたためられる(熱の吸収)と同時に、空気中へ熱を逃がしています(熱の放射)。空気は、この地面の熱の放射によってあたためられています。

太陽から放射された熱について地面が吸収する熱をX、地面が放射する熱をYとすると、12時、13時、14時のそれぞれで、XとYの関係はどのようになっていますか。次のア~ウからそれぞれ選びなさい。

 ア.Xの方がYよりも大きい
 イ.XとYが等しい
 ウ.Xの方がYよりも小さい
























 どのグラフに注目すればよいのでしょうか。










 12時・・・ア 13時・・・イ 14時・・・ウ


 まず、XとYが何についての情報なのかを確認しましょう。
これらは地面が吸収・放射する熱ですから、地面の温度に注目すればよいのです。ちなみに、それぞれの選択肢を考えてみると、

ア.Xの方がYより大きい場合、放射する熱以上に吸収するわけですから、地面の温度は上昇していくはずです。

イ.XとYが等しくなった場合、放射する熱と吸収する熱が等しいわけですから、地面の温度は上がりも下がりもしないはずです。

ウ.Xの方がYより小さい場合、吸収する熱以上に放射するわけですから、地面の温度は下降していくはずです。

 このように、与えられた3つのグラフのうち、どれに注目すればよいのかがわかれば簡単な問題ですね。

 では、ここで問題です。
 「Xが最も大きくなるのは、何時ごろとわかりますか。」
 どのグラフに注目すればよいのか、考えてみて下さい。


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2009年12月01日

慎重さは大切にしたいものです。 2009-12-01



慎重さは大切にしたいものです。

 ある草野球チームは、昨年の夏の野球大会のときにメンバーは全部で56人で、平均の年令は28才でした。今年は、夏の野球大会までに新しく8人のメンバーが加わりましたが、平均の年令は28才のままでした。新しく入った8人のメンバーの平均の年令は何才ですか。

























 あえて、なしにします。










 21才


 平均が変わらないわけですから、あとから入った8人のメンバーの平均も28才では?と、思いがちですが、実はそうではありません。

 昨年からいたメンバーは、今年1才年をとっていますから、平均29才の56人に、新しく8人が加わって平均28才にしなければならないのです。

 よって、今年のメンバー全員の年令の合計は64×28=1792才です。このうち、昨年からいたメンバーの年令の合計は56×29=1624才ですから、新しく入った8人の合計は168才とわかります。
これより、168÷8=21才となります。

 平均に対して瞬時に反応できた方が、逆に誤答を導きやすい問題といえるでしょう。何よりも慎重さが大切だというメッセージが隠れた問題です。

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2009年11月10日

投影図が見えていますか。 2009-11-10



投影図が見えていますか。

 下の図1のような正四角すいを正面から見ると図2のように見えました。
この正四角すいの表面積を求めなさい。

























 底面と側面の形を正しく認識しましょう。


 360平方cm


 表面は、底面と側面からできていますので、それぞれを求めます。

[底面積]
 正四角すいですから、1辺が10cmの正方形です。よって10×10=100平方cmとなります。

[側面積]
 二等辺三角形ですが、高さは12cmではありません。
正面から見た図ですから、これは影の形と考えることができます。
つまり、12cmはこの正四角すいの高さであり、側面である二等辺三角形の高さは13cmとわかります。
この二等辺三角形が4つあるので、10×13÷2×4=260平方cmとなります。
 
 以上より、表面積は、100+260=360平方cmとなります。


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2009年10月20日

星の動きを正しく理解していますか? 2009-10-20



 星の動きを正しく理解していますか?

 地球上の1点から月を数日間観察すると、月は満ち欠けしながら地平線からのぼったりしずんだりしています。
では、月の1点から地球を数日間観察すると、どのように見えますか。
次のア~オから選び、記号で答えなさい。

ア.地球は満ち欠けをせずに、いつも同じ方向に見える。
イ.地球は満ち欠けをしながら、いつも同じ方向に見える。
ウ.地球は満ち欠けをせずに、月の地平線からのぼったりしずんだりしている。
エ.地球は満ち欠けをしながら、月の地平線からのぼったりしずんだりしている。
オ.特にきまりはなく、見えるときと見えないときがある。
























 地球の動き、月の動きを整理してみましょう。





 まず、満ち欠けについて考えてみます。
地球も自ら光り輝く星ではないため、太陽の光で照らされた部分のみが見えることになります(月の満ち欠けと同じ原理です)。

  例えば、下の図のAの月から地球を見れば、丸く光り輝いて見えることがわかります(月で言えば満月です)。
また、Cの月から見れば左半分が光り輝いて見えることがわかります(月で言えば下弦の月です)。
このように、月の公転によって、地球も満ち欠けをしていくことがわかります。

 続いて、地球が見える方向について考えてみます。
月は、およそ27.3日で公転しつつ、同じく27.3日で自転しています。 これにより、月がいつも地球に同じ面を向けているということは有名事実でしょう。
ですから、地球から見る月の模様は、いつも同じなのです。

これを、逆に月の立場で考えてみると、答えは簡単です。
月はいつも地球の方を向いているわけですから、月の地平線からのぼったりしずんだりすることなく、いつも同じ方向に見えるのです。
(もちろん、月の裏側から観察したら全く見ることはできませんが・・・)

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2009年09月08日

シンプルですが、意外と正解できません。2009-09-08



 シンプルですが、意外と正解できません。

 A君の部屋の窓は北を向いているため、太陽の光をとり入れるために、図のように北側の庭に鏡を置くことにしました。
 太陽の位置は常に変化をしてしまうため、春分の日にA君の部屋の同じ場所に光をとり入れるために鏡を回転させることにします。鏡の向きは、1時間に何度回転させればよいですか。

























 1時間あたりの動きといえば・・・。



 7.5度



 春分の日ですから、真東からのぼった太陽は真西にしずみます。
よって、太陽の光が届く時間は12時間と考えることができます。
 12時間で180度動くので、1時間あたり15度となり、これは太陽の日周運動では基本知識です。

しかし、答えは15度とはなりません。

 例えば、鏡を1度回転させると、入射角が1度へるため、反射角も1度へります。
鏡が傾いた上に反射角も減るわけですから、二重の影響を受けて反射光線は2度ずれることになるのです。
よって、1時間に15度ずらすためには、鏡は7.5度ずらしていけばよいことになります。


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