学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　自分（ヒト）の体を理解していますか？

　下の図は、ヒトの体の骨を表しています。ヒトの体は、およそ200個の骨でできていますが、この中で最も長い骨はどれですか。次のア～オから選び、記号で答えなさい。

　ア．鎖骨（さこつ）
　イ．背骨（せぼね）
　ウ．骨盤（こつばん）
　エ．指節骨（しせつこつ）
　オ．大腿骨（だいたいこつ）

　ありません。

　オ．大腿骨（だいたいこつ）

　図から、最も長い骨を探すと多くの人がイ．背骨を選びます。
たしかに、首から腰までをつなぐ骨ですから「長い」イメージがあると思いますが、実はそうではありません。

　 背骨は、腰を曲げるために柔らかな動きができなければなりません（長い１本の骨だとしたら、曲げられません）。
よって背骨は小さな臼状の骨が軟骨によってつなげられる「軟骨接合」とよばれるつながり方をしています。
すなわち、背骨自体はとても小さいのです（下の図参照）。これより、ヒトの体の中で最も長い骨は、足のオ．大腿骨となります。

　さて、先週から小５の生徒たちがヒトの体について学習しています。この骨に関しては「３つのつながり方と動き」について主に学習するわけですが、それをただ暗記するだけではもったいありません。

１．ほう合・・・板状の骨がかみ合い、まったく動くことはないつながり方
２．なん骨接合・・・小さな骨が軟骨でつながっているため、しなやかに動くつながり方
３．関節・・・骨どうしが間をあけて筋肉やじん帯などで結ばれ、大きく動かせるつながり方

　これから、軟骨接合の背骨が小さな骨の集まりであることも、問題に活かしたいところです。

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　シンプルですが、意外と正解できません。

　Ａ君の部屋の窓は北を向いているため、太陽の光をとり入れるために、図のように北側の庭に鏡を置くことにしました。
　太陽の位置は常に変化をしてしまうため、春分の日にＡ君の部屋の同じ場所に光をとり入れるために鏡を回転させることにします。鏡の向きは、１時間に何度回転させればよいですか。

　１時間あたりの動きといえば・・・。

　7.5度

　春分の日ですから、真東からのぼった太陽は真西にしずみます。
よって、太陽の光が届く時間は12時間と考えることができます。
　12時間で180度動くので、１時間あたり15度となり、これは太陽の日周運動では基本知識です。

しかし、答えは15度とはなりません。

　例えば、鏡を１度回転させると、入射角が１度へるため、反射角も１度へります。
鏡が傾いた上に反射角も減るわけですから、二重の影響を受けて反射光線は２度ずれることになるのです。
よって、１時間に15度ずらすためには、鏡は7.5度ずらしていけばよいことになります。

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　問題文の数字に惑わされることもあります。

　1200立方センチメートルの水を入れたペットボトルの底に小さな穴をあけ、出てきた水の量と時間の関係を調べました。
ペットボトルのふたは、はずしてあります。その結果は、下の表のようになりました。

　このペットボトルに、はじめに500立方センチメートルの水を入れて実験すると、200立方センチメートルの水が出るまでに何秒かかりますか。

　はじめの500立方センチメートルがポイントなのですが・・・。

　144秒

　まず、表を見てわかるとおり、出た水の量と時間に明確なきまり（比例・反比例など）は見つけられません。つまり、計算をして求めることは無理であることがわかります。

　そこで、はじめに500立方センチメートルの水を入れたことに注目します。しかし、表にある「500立方センチメートルの水が出るまでに188秒かかる」ことは利用できません（ここがひっかかるポイントです）。なぜなら、これは1200立方センチメートルの水から500立方センチメートル出たときの話なので、このときペットボトルには700立方センチメートル水が残っているからです。

　ペットボトルの中の水が500立方センチメートルになったときが始めと考えられるので、1200立方センチメートルの水のうち700立方センチメートル出たときが始めです。そこから200立方センチメートル出すわけですから、1200立方センチメートルの水のうち900立方センチメートル出たときが終わりです。よって、表の値を利用すれば434－290＝144秒が正解です。

　この問題は「問題文にない数値（データ）に注目して答えを導き出す」類の良問です。数字をはじめとして問題文の中のヒントを追うことももちろん大切ですが、この問題のように与えられたデータに適した表現に読み換えるというスキルも非常に重要です。

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　合同条件は「正しく」言えなければ「知らない」のと同じです。

　ある2つの三角形が合同（ぴったり重なる形）であるといえるための条件を3つ答えなさい。

　ありません。

1．3つの辺の長さがそれぞれ等しい。（3辺相等）
2．2つの辺の長さとその間の角の大きさがそれぞれ等しい。（2辺夾角相等）
3．1つの辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しい。（2角夾辺相等）

　三角形が合同であるための条件が言えれば、必ず1通りの三角形に定まります。
実際に作図をして確かめてみるとよいでしょう。

　さて、ここでよくある間違いが次のものです。

1．3つの辺の長さが等しい。
※これでは、まるで正三角形をいっているようなものですね。

2．2つの辺の長さとその間の角が等しい。
※辺の長さと角の大きさが等しい・・・？

3．1つの辺の長さとその両端の角が等しい。
※辺の長さと角の大きさが等しい・・・？

　つまり、２つの三角形で対応する部分が互いに等しいことを意味する「それぞれ」が抜けてしまいがちなのです。
ぜひ、気をつけて下さい。
　ちなみに、「相等」とういう言葉は「互いに等しい」という意味ですから、この場合「それぞれ」は当然不要です。

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　目に見えない気体の動き、じっくり考えたことありますか。

　下の図１は、ガラスでできた円筒と板を用いてつくった装置で、中で同じ長さのろうそくを燃やした様子です。また、円筒の上口付近に火のついた線香を近づけたときのけむりの動きが描かれています。これと同じようにして、図２の装置で実験をすると、けむりの動きはどのようになると考えられますか。図１にならって、作図しなさい。

　ありません。

　まず、ろうそくが燃え続けるためには「空気（酸素）」を継続して送り込まなければなりません。簡単に言えば、ろうそくを燃やし続けるためには、自然とまわりから新たな空気（酸素）が送られるようにしておけばよいのです。

　ここで、あたためられた空気は膨張し、（同じ体積あたりの重さが）軽くなるために上昇していきます。これにより、ろうそくを出たあとの気体は、どんどんと上へ上がっていくのです。このとき、図１の装置では、下の図のようにろうそくを出たあとの気体が広がりながら上昇していくときにできるわずかな隙間から新しい空気（酸素）が供給されるため、線香のけむりはろうそくに吸い込まれるように動いていると考えられます。

　ところが、図２の装置では、円筒が高すぎるために隙間ができず、新しい空気（酸素）は供給されません。円筒の口付近では、ろうそくから出た気体がどんどん上昇していくだけですから、線香のけむりは円筒に入ることなく、上昇していきます。

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　シンプルな１問です。

　次の表は、ある年のある月に、東京で観測した月の出と月の入りの記録の一部を表したものです。
このとき、それぞれの日について、その日に月が出てから、その月がしずむまでの時間を求め、次のア～オから選び、記号で答えなさい。

　ア．9時間16分
　イ．9時間26分
　ウ．11時間47分
　エ．12時間23分
　オ．これだけではわからない。

　ただの時間の計算なのですが・・・。

4日・・・オ
12日・・・ア
19日・・・エ
26日・・・オ

　まず、月が出ている時間は「月の入り－月の出」で計算することができます。
例えば、12日では「12日の0時48分に出た月が、12日の10時4分にしずむ」ので、10時4分－0時48分＝9時間16分と計算できます。
同様にして、19日は、18時5分－5時42分＝12時間23分となります。

　しかし、4日と26日には注意しなければなりません。

　例えば、4日については「まず4日の6時10分に前日から出ていた月がしずみ（つまり、3日から4日に日付が変わったときにすでに月が出ていたということになります）、4日の17時57分にようやく月が出てきた」ということなので、計算することができません。
もしも求めるならば、4日の17時57分に出てきた月が翌5日の何時何分にしずんだのかを知る必要があります。

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地震の問題、解く自信はありますか？

　ある地震についてＰ波とＳ波の到着時刻の情報を集めてみました。下の図は、そのいくつかの地点からのデータをもとに、グラフにしたものです。これについて、次の問いに答えなさい。

(1) この地震が発生した時刻は、何時何分何秒ですか。

(2) ある地点では、Ｐ波が届いてからＳ波が届くまでに1分10秒かかりました。
　この地点の震源からのきょりは何kmですか。 　

　ありません。

(1)2時59分50秒
(2)560km

　地震が起こると、震源から必ずＰ波とＳ波という2種類の波が同時に出されます。
このとき、Ｐ波の方がＳ波よりも速いため、観測地点では先にＰ波が届くことになります。
このＰ波がもたらすゆれは非常に小さなものなので「初期微動」とよばれ、遅れてやってくるＳ波がもたらす大きなゆれは「主要動」とよばれます。

　また、Ｐ波が届いてからＳ波が届くまでの時間を、初期微動が続いている時間ということで「初期微動継続時間」といいます。
　では、問題を見ていきます。

(1) 地震が発生した時刻は、Ｐ波とＳ波が同時に出された時刻と言い換えられますから、初期微動継続時間が0秒の地点と考えることができます。
　また、Ｐ波やＳ波が震源からのきょり0kmの地点に到着した時間と考えることもできます。

　いま、図でＳ波に注目すると、200kmの道のりに50秒かかっていることがわかります。
つまり、震源からのきょりが200km地点にいくまでにも50秒かかりますから、3時0分40秒－50秒＝２時59分50秒となります。

(2) Ｐ波もＳ波もそれぞれ一定の速さで進みますから、図のとおり時間と震源からのきょりは比例します。
　よって、Ｐ波とＳ波の差にあたる「初期微動継続時間」も震源からのきょりに比例することがわかります。

　図から、震源からのきょりが400km地点では初期微動継続時間が50秒なので、初期微動継続時間が70秒であれば、400×（70／50）＝560kmとわかります。

　ちなみに、震源からのきょりは以下のような式でも求められます。これは、大森公式とよばれ、算数の速さの考え方を使うと証明も可能です。

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自分で導ける公式は、より記憶に残ります。

　次の図は、東京（北緯36°）における春分の日の地球と太陽の位置関係を表しています。この図の中に、この日の南中高度を書き入れ、求めなさい。ただし、必要な線などは消さずに残し、例のように、黒くぬりつぶして示すこと。

高度は、地面（地平線）からどれくらいの高さにあるかを表しています。

　高さを書き込む上で、まずは「地平線」を正しく書かなければなりません。地球は球体ですが、観測者の地球に対する小ささを考えれば平面と考えることができるので直線で表せます。また、太陽は地球から十分に遠いため、地球に届く光は太陽が放つ光の一部でしかありません。よって、平行光線であり、春分の日（秋分の日）はそれが赤道と平行になります。
　これより、90°－36°＝54°と計算できるのです。

　また、北緯をＮ°とすれば、この作図から「春分の日の太陽の南中高度＝90°－Ｎ°」という公式が導けたことになります。

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選択肢がなければ答えが出せない問題もあります。

なめらかなカーテンレールと台でつくった装置を使って以下の実験を行いました。

＜実験１＞
　下の図のように、ななめの部分のカーテンレールを100cmとし、その上端からパチンコ玉を静かに転がしたところ、パチンコ玉はレールの右端から飛び出し、台から100cmの所に落ちた。

＜実験２＞
　角度は30°のまま、ななめの部分のレールの長さを２倍、３倍として、それぞれ上端からパチンコ玉を転がした。表１は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

＜実験３＞
　ななめの部分のレールの長さは100cmのまま、レールの角度を変えてそれぞれ50cmの高さの所からパチンコ玉を転がした。表２は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

＜実験４＞　
　 レールや台は実験１と同じ状態で、転がす玉の材質を変えた。ただし、それぞれの重さは異なっても、大きさは同じだった。表３は、それぞれのパチンコ玉が飛んだ距離を表している。

この実験結果から、ななめの部分のレールの長さは100cmのままレールの角度を変えて、それぞれの上端からパチンコ玉を転がすとそれぞれのパチンコ玉の飛んだ距離はどのようになりますか。次のア～クから選び、記号で答えなさい。

(1) レールの角度を45°にしたとき
(2) レールの角度を60°にしたとき

　　　　　　ア．71cm　イ．100cm　ウ．119cm　エ．132cm　

　　　　　　オ．141cm　カ．155cm　キ．173cm　ク．200cm

選択肢がなければ、解けません。

(1)ウ
(2)エ

　この実験より、球が飛ぶ距離は「はじめの球の高さ」によってのみ決まることがわかります。実験２から、はじめの高さが高いほうが飛ぶ距離が長いところまではわかりますが、比例関係にはなく、きまりまではつかめません。そこで、図にして比べてみると・・・

これから、(1)、(2)ともに、飛ぶ距離は100cm以上141cm以下であることが予想できます。また、当然(1)よりも(2)の方が飛ぶ距離は長くなるので、選択肢であてはまるのは119cm、132cmしかありません。

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分数倍を使いこなせますか？

図3、図4は、数を矢印についている比に分けていく様子を表しています。たとえば、図3の場合、12が1：5に分かれて、2と10になります。図4のウ、エ、オに入る数はそれぞれいくつですか。（2008サレジオ学院中より一部抜粋）

ただの比の計算ですが、すべて求める必要はありません。

　ウ63
　エ126
　オ14

　実際に2008年にサレジオ学院中学校で出題された算数の問題（しかも最後の設問）です。

数字を順に比例配分していくだけですし、途中で分数や小数が出てくることもありません。時間さえ気にしなければ、誰も「難しい」とは感じることがないでしょう。

しかし、これが実際の入試問題なのです。日ごろから数の感覚（倍数、比、およその数の見当）が磨かれていないと、無駄に時間を費やしてしまう、もしくはつまらないミスで正答に至れない1問に値し、意外にも受験生の正答率に差が出たことでしょう。

（ちなみに、この問題を書きながらではないと処理できないようでは、比の感覚が弱いと言わざるを得ません。ぜひ、暗算によって数秒で処理できるようになって下さい。）

ウについて。
「315を1：2に分けたうちの1に当たる数」は、「315を3個に分けたうちの1個分」ということなので、315÷3×1＝105です。

次に、ウはこの「105を2：3に分けたうちの3に当たる数」ですから、同様にして「105を5個に分けたうちの3個分」となり、105÷5×3＝63と求められます。

さて、ここで気づいたかもしれませんが、比例配分は分数と考え方が同じです。

たとえば、「ＡをＢ：Ｃに分けたうちのＢに当たる数」＝「Ａを（Ｂ＋Ｃ）個に分けたうちのＢ個分」ですから、式としてはＡ÷（Ｂ＋Ｃ）×Ｂとなり、分数を利用すると結局次のように表せます。

このように、比例配分された量を、分数を使って求める方法を「分数倍」といいます。特に、図形の中で比を使っていくときなどで威力を発揮します。

これを使って、エとオを計算すると、次のように求められます。

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