学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　隠れた制限を考えます【対象学年：5年生以上】





　全体の人数が100人以上、200人未満の学校があります。

この学校の生徒を通学地域別のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの5つのグループに分けたら、次のようになりました。

（1）Ａの人数はＢの人数の1.2倍

（２）Ｃの人数はＢの人数の1.4倍より3人少ない

（３）Ｄの人数はＣの人数より5人少ない

（４）Ｅの人数はＡの人数より1人多い

条件を満たすＢの人数は何通り考えられますか。

（芝中）

　分数で考えてみましょう。

（1）より

Ａ対Ｂ＝1.2:1＝6:5

よって、Ａの人数は6の倍数、Ｂの人数は5の倍数となる。

（2）より

Ｂ：Ｃ+3＝1:1.4＝5:7

Bをとすると、Ａは、Ｃは-3人、Ｄは-3人、Ｅは+1人

合計は－10人

よってが110人以上210人未満となる。

これを満たすは4人、5人、6人の3通り。

よってＢの人数も20人、25人、30人の3通り。

問題文に明記されていないのですが、この問題を解く上で最も重要な条件は

人数は整数

ということです。

Ａ＝Ｂ×1.2ですから、Ｂは5の倍数でないとＡは整数になりません。分数で考えれば、Ａ＝Ｂ×6/5ですからより気づきやすいことでしょう。

本問の「整数制限」など、当たり前なので明記されていない「隠れた制限」には様々なものがありますが、普段気づかなくても「ミス」で片付けてしまいがちです。問題では解答のための鍵になることが多いのできちんと整理してチェックリストを頭の中に作っておくことが大切です。

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　暗号「雲雲歌白夕」【対象学年：2年生以上】





　ある暗号によれば、「おに」は「青兄」、「たいじ」は「歌貝味」と表される。

それでは「雲雲歌白夕」は何を表しているか。

　ありません。

　ももたろう

漢字2文字がひらがな2文字に、漢字3文字がひらがな3文字に変換されています。



そこで、この暗号は

漢字1文字とひらがな1文字が何らかの関係に立っている

のではないかと仮説をたててみましょう。



漢字をひらがなにするには、「読み」がもっとも一般的です。

「青」＝「あお」、「せい」……、「兄」＝「あに」、「けい」……

ここで、「おに」をさがしてみると、訓読みしたひらがなの最後の文字が「お」「に」になっているのがわかります。



そこで、この暗号は

訓読みしたひらがなの最後の文字をつないだもの

ではないかとさらに仮説をたてることができます。



「歌貝味」で検証してみましょう。

「歌」＝「うた」、「貝」＝「かい」、「味」＝「あじ」。最後の文字をつなぐと「たいじ」となります。

仮説は正しかったといえましょう。



では「雲雲歌白夕」を解読してみましょう。

それぞれの漢字を訓読みすると

「雲」＝「くも」、「雲」＝「くも」、「歌」＝「うた」、「白」＝「しろ」、「夕」＝「ゆう」

最後の文字をつなぐと

「ももたろう」ですね。

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　気体の集め方【対象学年：5年生以上】





　アンモニア水を加熱したり、塩化アンモニウムと水酸化カルシウムを入れて加熱すると、アンモニアが発生します。このアンモニアを集める方法として正しいものを、次のア～カから選びなさい。

　アンモニアの性質もさることながら、ア～ウとエ～カのちがいを考えてみましょう。

イ

　まず、アンモニアはとても水に溶けやすく、空気よりも軽い気体です。気体の集め方は大きく分けて３種類あり、以下の通りです。

◎水上置換法・・・水に溶けにくい気体を（純粋な状態で）集めるとき
◎上方置換法・・・（水に溶けやすく）空気より軽い気体を集めるとき
◎下方置換法・・・（水に溶けやすく）空気より重い気体を集めるとき

　これより、アンモニアは上方置換法で集めることになりますが、選択肢を見るとイとオで迷う生徒が散見されます。ちょっとした違いに感じるかもしれませんが、実はこの区別ができるかどうかで、きちんと気体の集め方を「理解」できているかどうかがわかります。
　
　上記の３つの集め方は、すべて「置換」法です。これは、もともと集気びんの中にあったものを、集めたい気体に置き換えるからこう呼ばれるのです。
　つまり、上方・下方置換法では空気を追い出す必要があり、水上置換法では水を追い出す必要があるのです。
　よって、ゴム栓をしてしまうと追い出すことができずに、気体を集めることはできません。

　※ちなみに、水上置換法でもしはじめに集気びんの中を水で満たさなかった場合、どうなるでしょうか？
　水圧により集気びんの中の空気を追い出すことができないので、当然集めたい気体は入っていくことができません。だから、水上置換法ではまず集気びんの中を水で満たすのですね。

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　既存知識に頼らずに実験から考察する(灘中より）【対象学年：4年生以上】





植物は種をまいてから一定の時間が経過すると花がさくと思われがちですが，実際には冬をこして昼の時間が長くなると花をつけるものや，夏至以降，秋にかけて昼の時間が短くなるとつけるものもあります。

これらの植物では，昼夜の長さを葉で感じているようです。そこでよく知られているアサガオがどのような光の条件で花をつけているのか調べるために次のＡ～Ｆの実験で調べました。

ただし調べるアサガオはある１つの品種に限定し，光以外の条件はすべて同じにして，それぞれの実験において10個の植木鉢で結果をみました。

この結果にもとづいて以下の問いに答えなさい。

（1）
実験から導かれる結論について述べた次の文章で，｛　｝はどちらかを選び，（　）には適当な値を整数で答えなさい。

（2）
下の図はハワイでの日照時間のうつりかわりを表したものです。「種が発芽して，葉が出たばかりのアサガオの鉢植え」を日本から，いきなりハワイに運んだ場合，どのように　なりますか。（1)から導かれた開花の特徴から考えて，次のア～エから選びなさい。

ア　いつまで待っても花はさかない。　
イ　６～７月に移動したのであれば花芽ができ，さき始める。
ウ　６～７月以外に移動したのであれば花芽ができ，さき始める。
エ　何月であっても花芽ができ，さき始める。　

　　　　　　　　
(3)
キクはアサガオと同じように光の条件がととのうことで９月の上旬に花芽ができ，10月の下旬に開花します。このキクを正月に出荷するためには，花芽の形成自体を遅らせる必要があります。どのような処理をすればよいか20字以内で答えなさい。ただし温度条件は考えなくてよろしい。

　ありません。

（1）イ、エ、９、オ

（2）エ

（3）夜間に電灯でキクに光をあてる

（1）
与えられた実験結果から、開花に影響を与えるのは夜の長さだとわかります。B、E、F　を比較すると昼の長さが関係ないことがわかるはずです。

AからCより、その夜の時間が少なくとも9時間必要であることがわかり、また、DとEを比べることで、開花に必要なのは夜の時間の合計ではなく、連続時間だということがわかります。　

物事を比較するときのコツを身につけましょう　⇒　参考

（2）
グラフよりハワイでの夜の時間は絶えず10時間以上とわかる。　（1日は24時間であり、日照時間が最長でも14時間　）

（3）
（1）～（3）を通して「示された実験結果から仮説を導き、その仮説をもとに問題を解く」　というタイプの思考力問題です。

既存の知識は意味を持たず、その場で仮説を組み立てる必要があるという意味で、受験生の思考力を測る良問だと思います。

こういった問題に対し、「こういうの習ってないからわからない」という反応をした生徒は勉強方法を大きく変えないと、そもそもどれだけ勉強時間をとっても成果はあらわれません。

実験結果から仮説を導きそれを応用して未知の問題を解くというプロセスになれていれば、2年生、3年生でも解答できますね。　（問題文を噛み砕いて説明する必要はあるでしょうが）

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　凹面鏡のうつりかた【対象学年：5年生以上】





下図のような物体を凹面鏡(スプーンのような鏡)に接した状態からだんだん遠ざけていきます。
そのとき映る像はどのようになるでしょうか。ただし物体とそれを見る人の目の位置は同じ(物体の移動とともに目の位置も移動する)ものとします。

　
ア　上下左右そのままの像ができる
イ　左右のみ逆の像ができる
ウ　上下のみ逆の像ができる
エ　上下左右逆の像ができる
オ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
カ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
キ　最初は上下左右そのままの像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
ク　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ケ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
コ　最初は上下左右逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる
サ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
シ　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
ス　最初は左右のみ逆の像ができ、ある地点から上下のみ逆の像になる
セ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右そのままの像になる
ソ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から上下左右逆の像になる
タ　最初は上下のみ逆の像ができ、ある地点から左右のみ逆の像になる

　知らないと思った問題でも、基本的なこと(この場合は光の反射のしかた)からしっかり考えていくことで妥当な結論を導くことができます。
光の問題ではとにかく作図をしてみることが大切です。

シ

まず上下方向の光の進路を作図してみましょう。
入射角と反射角が等しくなるように反射させた図を描けばいいですね。
同様に左右方向の光の進路も作図します。(下図1.2)

すると、図１については、ｃの点線より内側(ｄ)に物体がある場合、上下の向きは変わらず(図3)、ｃの位置より外側(a.b)では、上下が反対になることが分かります(図4)。

左右も同様に、ｃより内側(ｄ)に物体がある場合、像の左右は逆になり(図5)、外側(a.b)の場合、もとに戻ることになります。
しかし上下も逆転しているため、左右も逆転した像になりますね(図6)。(右手側である◎が左手側にあるようにうつる)

よって点ｃより内側に物体がある場合、上下はそのまま、左右は逆の像ができ、ｃより外側に物体がある場合、上下左右ともに逆の像ができることになります。ちなみにこの点ｃを凹面鏡の焦点といいます。

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　それぞれの位に注目しましょう【対象学年：4年生以上】





100は４で割り切れます。

1000は４で割り切れます。

10000は４で割り切れます。

278632は

200000と

70000　と

8000 と

600 と

32でできています。

それぞれの数は全て4で割り切れます。

(1)27？632は４で割り切れます。

？ に入る数を全て答えなさい。

(2)777777777777？2

？ に入る数を全て答えなさい。

　ありません。

(1)1・2・3・4・5・6・7・8・9・0

(2)1・3・5・7・9

3桁以上の数を位ごとに分けて考えると百の位以上の数は下2桁が00になります。その時百の位以上の数は100の倍数になっているということです。よって、百の位以上の数は必ず4で割り切れるということです。

なので、4で割り切れるかどうかは下2桁が4で割れるかどうかを調べればよいということになります。

下2桁が00のときも4で割り切れることにも注意しましょう。

(1)下2桁が4で割り切れればよいので千の位は何が入ってもよいです。

(2)下2桁で一の位が２で4で割り切れる数をさがせばよいです。

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　隠れた制限を考えましょう【対象学年：4年生以上】





太郎君、次郎君、三郎君、四郎君の4人は携帯電話を持っています。
5月に4人の中で電話で会話をした回数を尋ねたところ、
太郎君：35回
次郎君：28回
三郎君：29回
四郎君：41回
と答えました。
誰かが回数を間違えて答えていることを説明してください。

　誰が間違えているのかはわかりません。

全員の会話の回数の合計は

35＋28＋29＋41＝133回

133は奇数なのでありえない。つまり、誰かが回数を間違えていると言える。

さて、なぜ全員の会話の回数の合計が奇数にはなりえないのでしょうか。
それは、1回の会話について、2人がカウントするので会話の回数の合計は2ずつ増えていくからです。
つまり、太郎君と次郎君が会話を1回すると、太郎君と次郎君がそれぞれ1回カウントするということです。

計算で説明してみましょう。
太郎君と次郎君の会話の回数をA
太郎君と三郎君の会話の回数をB
太郎君と四郎君の会話の回数をC
次郎君と三郎君の会話の回数をD
次郎君と四郎君の会話の回数をE
三郎君と四郎君の会話の回数をF
とすると
太郎君は35回会話をしたというので
A＋B＋C＝35
といえます。
同様に次郎君は28回会話をしたというので
A＋D＋E＝28
となります。
三郎君については
B＋D＋F＝29
四郎君については
C＋E＋F＝41
がいえます。
まとめると
A＋B＋C＝35
A＋D＋E＝28
B＋D＋F＝29
C＋E＋F＝41
です。
すべて足し合せると
A＋A＋B＋B＋C＋C＋D＋D＋E＋F＝133
つまり
2×（A+B＋C＋D＋E＋F）＝133
です。
＝の左側は2をかけているので偶数で右側の133は奇数ですね。
これは合計133がおかしい、つまり誰かが回数を間違えて答えているということです。


「考える算数」の「隠れた制限を考える」の授業などで取り上げられる問題ですね。偶・奇の制限は問われることも多いので必ずチェックする項目として覚えておきましょう。

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　［社会］平成15年麻布中学入試問題【対象学年：4年生以上】





＜本文省略＞

問
　人類の重要な発明品に道具と機械があります。これまで取り上げてきた自転車は、人類が発明したもっともすばらしい道具のひとつであるといわれています。

(1)　では、人類で発明した最初の道具は、何だったでしょうか。

(2)　自転車が道具であるとして、道具と機械のちがいについて考え、道具とはどのような性格のものか説明しなさい。

（平成15年麻布中学校入試問題＊社会 問１１）。

　ありません。

　（1）　石器

　（2）　「道具とは、機械が動力で動かすものに対して、人間の力で動かすものという性格のものである。」

(1)は、単純知識ですね。石器でいいでしょう。

(2)が麻布ですね。
まず道具と機械を具体的にくらべるとわかりやすくなります。
道具の代表として自転車があがっています。機械の代表は自動車としましょうか。
自転車とオートバイはどこがちがうのだろうと考えてみるのです。

自転車は、自分でこいで動かす。
オートバイは、エンジンで動かす。
ここまでは、いけると思います。あとは、これを抽象化してあげればいいだけですね。

道具は、人間の力で動かすもの。
機械は、動力で動かすもの。
あとは、くっつけるだけです。

「道具とは、機械が動力で動かすものに対して、人間の力で動かすものという性格のものである。」

具体化、抽象化のトレーニングは、日常生活でも十分できます。簡単なものからはじめてみましょう。

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　ひっかかりやすい積み木の個数【対象学年：４年生以上】





　下の図１は、小さな立方体をいくつか使ってつくった立体を、正面、上、右からそれぞれ見た図です。この場合、最も少なくて６個、最も多くて８個の立方体で作ることができます。
　では、図２のように見えるようにするには、最も少なくて何個の立方体が必要ですか。

　上から見た９か所すべてに立方体は必要でしょうか？

　１１個

　まず、図１が６個～８個でできることを考えてみましょう。
上から見た図の中に、正面、右から見た（積み上がった最大の）立方体の情報を書き込んでみると、次の図のようになります。

　さて、図２の場合を考えてみます。同じように、上から見た図の中に情報を書きこむと次のようになります。説明のために、ア～ケと名前をつけておきます。

　まず、１個しか積み上がって見えない「イ・オ・ク・エ・カ」は１個と考えられます。また、最大である３個積み上がっている場所はできるだけ少ない方がよいわけですから、「キ」が３個と考えられます。同様に、２個積み上がっている場所もできるだけ少ない方がよいわけですから、「ウ」が２個と考えれらます。
残った「ア・ケ」はあればよいわけですから、１個と考えられます。以上より、全部で１２個となります。

　しかし、実はこれは最小の個数ではありません。図のオをつくる４辺は、まわりに立方体がありさえすれば存在しますから、実はオは０個で構いません（オ意外の場所は、まわりに囲まれているわけではないので、そこに立方体がないと４辺ができあがらないため、１個以上必要になります）。
以上より、本当の最小の個数は１１個となります。

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　方角の思い込みには注意しましょう【対象学年：４年生以上】





　下の図１は、ある日の夜に見えた北極星と北斗七星を表したものです。
このとき、星座早見で北の空を観察すると、北斗七星はどの位置にありますか。
図２のア～エから選びなさい。

方角がポイントです。

　イ

　まず、図１から北斗七星は真北を向いた左手側、すなわち北西にあることがわかります。
　また、星座早見の窓は地平線を表しており、ア～エにあらわれている星がその時に夜空に見える星です。北極星の位置から考えて、上が北、下が南になりますが、星座早見は見上げて使うために東西があらかじめ逆に示されているので右が西、左が東となっています。よって、北西にあたるのはイとなります。

　つまり、次の図のようになっているのです。

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