学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　すき間。





　次の図のように、高さがすべて20ｍで間に幅１ｍの道があるビルが４つあります。
この４つのビルを合わせた体積は、何立方メートルになりますか。

　底面積を正しく求めましょう。

　3020立方ｍ

　一見、底面積が10ｍ×16ｍの長方形になるように見えますが、実際に合わせてみると下の図のようにすき間ができます。
これより、底面積は10ｍ×16ｍ－９ｍ×１ｍ＝151平方ｍとなるので、求める体積は151平方ｍ×20ｍ＝3020立方ｍとなります。

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　平均魔法陣。





　次の魔方陣（たて、横、ななめそれぞれ３つの数の和が等しい）を完成させたとき、アにあてはまる数はいくつですか。

　すでにうめられている数と場所に秘密があります。

　８

　まず、数の入っていないマスにそれぞれイ～カの記号を入れておきます。
下の図のように１列の合計３つ分を比べると、ア×２＝５＋11とわかります。よって、ア＝８となります。

　つまり、アは５と11の平均だったということになります。
このように、１つのマスを３回ダブらせるようにして比べると、ダブったところは合計にふくんでいない数の平均ということになりますね。
　たとえば、オは５と７の平均です。また、エは７と11の平均です。

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　２・２・３の直角三角形。





　下の図は、１辺が１cmの正方形を３つ合わせたものです。この図で、角アの大きさを求めなさい。

　見えない角度を作ります。

　135度

　まず、合同な直角三角形を下の図１のように向きを変えてならべると、間に直角があらわれます。
このことから、正方形をしきつめた図形の中には、見えない直角があらわれます。その一例が、正方形を６つしきつめたときの「２つ・２つ・３つの正方形の対角線」でできる直角三角形です。

　この問題も、図２のように６つの正方形をつくることで新たに直角二等辺三角形をつくることが可能です。
このパターンは頻出なわりに、意外にも正答率は高くありません。

　また、これと似た問題で、正方形（親）の中にできる傾いた正方形（子）も頻出ですね。

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　倍数にするための過不足について、感覚を磨きましょう。





　ある整数に７をたすと11で割り切れ、11をたすと７で割り切れます。
このような整数のうち、５番目に小さい数を求めなさい。

　倍数の問題ですね。

　367

　ある整数に７をたすと11の倍数になります。これに11を加えても11の倍数のままです。
（つまり、ある整数に18をたすと11の倍数になるということです）

また、ある整数に11をたすと７の倍数になります。これに７を加えても７の倍数のままです。
（つまり、ある整数に18をたすと７の倍数になるということです）

これより、ある整数に18をたすと７と11の公倍数になるので、ある整数は77×□－18と表せます。
よって、答えは77×５－18＝367となります。

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　直感だけに頼ってはいけませんね





　２つのサイコロがあります。これらのサイコロの６つの面は、どちらも次のように色がぬられています。
・赤・・・３つの面
・青・・・２つの面
・黄・・・１つの面
　さて、この２つのサイコロを同時にふって色の組合せを考えたとき、もっとも高い確率で出てくるのはどの色の組合せですか。

　ありません。

　赤と青

　組合せは全部で36通りですから、次のように表にまとめれば簡単です。
それぞれのサイコロには赤が最も多くぬられていますが、組合せにすると赤と青の方が多くなりますね。

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　2010年度入試シリーズ　(4)鴎友学園女子中学校【算数】より

　ある中学校の図書館で、図書委員が本にラベルを貼る仕事をします。次のことがわかっています。

・１年生の委員は２年生の委員よりも６人多く、３年生の委員は２年生の委員よりも４人少ない
・委員１人が１日で貼る数は、２年生と３年生は同じ、１年生はその半分
・１年生だけではちょうど８日かかり、２年生だけではちょうど６日かかる

３年生だけでは何日かかりますか。

　ラベルを貼るという「仕事」ですね。

　９日

　結局のところ、仕事算です。ただ、能力（仕事の速さ）は、委員１人あたり１日で貼る枚数と人数で決まるところに注意が必要です。

　まず、１年生と２年生の委員１人あたりが１日に貼る枚数の比は、１：２で表せます。
また、同じ仕事を１年生は８日、２年生は６日かかることから、逆比を利用して１年生と２年生の能力の比は３：４となることがわかります。

　いま、１年生がア人、２年生がイ人だとすると、１×ア：２×イ＝３：４となることから、ア：イ＝３：２とわかります。

　ここで、アとイの差が６人ですから、比１あたり６人となり、ア＝18人、イ＝12人となります。３年生の委員１人あたり１日で貼る枚数は２年生と同じ２で、人数は２年生より４人少ない８人なので、これらをまとめると下の表のようになります。
　これより、144÷16＝９日とわかります。

　一見、単純な問題のようですが、委員１人あたりが１日で貼る枚数が異なることをどう処理するかで悩んだ受験生が多かったことでしょう。
１人あたりの単位仕事量が全員同じならば能力が人数比になるということを公式的に覚えていたのでは、意外にも歯が立たない問題です。

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　2010年度入試シリーズ　(1)桐朋中学校【算数】より

　ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分３人ずつの割合で人が加わります。午前10時に１つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に２つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

　　ニュートン算の基本です。

　10時24分

　非常に基本的なニュートン算ですが、前回ニュートン算が表で解けることを紹介したので、せっかくですから入試問題を表で解いてみましょう。
まず、並んでいる180人をなくすわけですから、
全体の仕事の量が180であると考えられます。
窓口が１つの場合80分で仕事が終わり（行列がなくなり）ますが、毎分３人ずつ並んできてしまうため、
能力（１分でこなせる仕事）は３減らされてしまいます。これらを、表に整理すると下の黒字ようになります。

　これより、実際の能力（仕事の速さ）は180÷80＝2.25となり、はじめの能力は5.25とわかります。窓口１つの能力が5.25ですから、窓口２つのときのはじめの能力は5.25×２＝10.5です。よって、窓口２つのときの実際の能力は10.5－３＝7.5ですから、これを表の中にうめていくと、上の青字になります。
　以上より、求める時間は180÷7.5＝24となり、開始が10時なので10時24分となります（赤字）。

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「ニュートン算＝倍数算＋仕事算」と、気づいていますか？

　ある牧草地で、牛10頭を放しておくと10日で草を食べつくしてしまいます。また、この牧草地で、牛12頭を放しておくと８日で草を食べつくしてしまいます。
では、この牧草地で、牛18頭を放しておくと草をたべつくすのに何日かかりますか。
ただし、この牧草地は一定の割合で草が生え続けています。

　増加と減少が同時に起こる、いわゆるニュートン算です。

５日

　　さて、ニュートン算が難しいと感じられる点はどこでしょうか・・・？

それは、「増加と減少が同時に起きている」という点に加え「増加と減少のうち一方は個数に比例するものの、他方は個数に関係なく絶えず一定である」という点に他なりません。

その点を単純化してある問題が、いわゆる仕事算です。

「12人ですると６日で終わる仕事を８人ですると何日か？」
実際に行う仕事は人数に比例しますから、１人で１日にする仕事の量を１とすれば、全体の仕事量は12×６＝72となり、これを８人で行うので72÷８＝９日とわかります。

　しかし、ここで絶えずこの仕事が１日に増えていくことを考えます。

例えば、仕事を行う人数に関係なく、毎日仕事が２ずつ増えていくとしましょう。
すると、12人では１日に12の仕事を行いますが、２だけ増えてしまうので結果として12－２＝10しか仕事をすることができません。
また、８人の場合も同様に１日あたり８－２＝６しか仕事をすることができなくなってしまうのです。
これにより、実際に12人で行う仕事の量は（12－２）×６＝60となり、これを８人で行うとすれば60÷（８－２）＝10日となるのです。

このように、一見複雑そうなニュートン算ですが、仕事算のように表に整理してみると簡単です。上３段が能力（仕事の速さ）の変化についての倍数算、そして下３段が実際の能力での仕事算となっているのです。

では、ニュートン算の仕組みがわかったところで、本題を解いてみましょう。
まず、表に整理すると下のようになります。

同じ仕事（草を食べること）をするのに、10日と８日かかっているわけですから、実際の【の】はその逆比となり４：５であることがわかります。これにより、はじめに10：12だった能力が、同じ分だけ減って４：５になっているので、一定である差で比をそろえます。これにより、牛１頭あたりの能力が１で、変化が－２であることがわかります。

全体の仕事が８×10＝80とわかるので、同じようにして牛18頭の場合を考えてみます。実際の能力は18－２＝16となり、80÷16＝５日と求められます。

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循環小数

　次のように、小数で表すと無限に続いてしまう小数を「無限小数」といいます。

　特に、同じ数字のかたまりがくり返しあらわれるものは「循環小数」といい、くり返しの部分のはじめとおわりに・をつけて表します（１つの数字がくり返される場合は・１つです）。

　これをもとに、循環小数0.4343434343434343・・・・・を分数で表しなさい。

　無限に続く部分を「消す」必要がありますね。

　まず、無限に続く小数部分を消去するために、くり返しあらわれる周期を利用します。

　これより、差をとることで小数部分が消え、99×Ａ＝43と表せるのです。

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正確に場合が分けられますか？

　あるクラスで、代表者１人と、書記２人（男子１人、女子１人）を選ぶことになりました。立候補したのは、男子４人と女子３人です。このとき、選び方は全部で何通りありますか。

　積の法則・和の法則を正しく使い分けます。

　60通り

　代表者を選ぶのは７通り、書記男子を選ぶのは４通り、書記女子を選ぶのは３通りなので、７×４×３＝84通りとするのはＮＧです。
　まず、代表者を１人選んだ段階で、書記になれる男子、女子は４人、３人いません。

　次に、このような誤答です。
　代表者を選ぶのは７通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子も候補を１人減らして２通りなので、７×３×２＝42通り。
　代表者を１人だけ選ぶのに、書記の男子、女子ともに１人減ることはありません。

　さらに、次のような誤答も考えられます。
　代表者を選ぶのは７通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子は候補を減らしていないので３通りとなり、７×３×３＝63通り。
　これでは、代表者が男子と決められています。よって、代表者を選ぶときに７通りも考えられません。
　また、男子ではなく女子を減らした７×４×２＝56通りも、同様な誤りです。

　つまり、代表者を任意の７通りにした場合、それが男子なのか女子なのかで、その後の書記の選び方が変わってきます。

　よって、まず代表者を男子にするか女子にするかで場合を分けて考える必要があるのです。

１）代表者が男子の場合
　代表者（男）を選ぶのは４通り、書記男子は候補を１人減らして３通り、書記女子は候補者を減らしていないので３通りとなり、４×３×３＝36通りとなります。
２）代表者が女子の場合
　代表者（女）を選ぶのは３通り、書記男子は候補を減らしていないので４通り、書記女子は候補を１人減らしているので２通りとなり、３×４×２＝24通りとなります。
　これより、36＋24＝60通りとなります。

　ちなみに、男子も女子も選ばれる可能性のある代表者を先に選ぶと、このように場合分けが必要になりますが、以下のように男子、女子が決められている書記から選ぶことで、場合分けは不要になります。
　書記男子を選ぶのは４通り、書記女子を選ぶのは３通り、代表者は候補を２人減らして５通りなので、４×３×５＝60通りとなります。

　きちんと場合分けをするか、場合分けのないように工夫するか、これはどちらがよいという訳ではありません。その状況に応じて、処理をしていくことが大切です。
　※特に、場合分けをしなければ「おかしい」「何か変だ」「気持ち悪い」という感覚をもてるかどうかが重要です。

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