学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

　対称性を利用する【対象学年：4年生以上】





１－９までのカードが、一枚ずつあります。
このカードを並べて3桁の数を作ったとき、十の位が一番大きく、つぎに百の位、一の位の数字が1番小さくなるような並べ方は何通りありますか。

まずは、書き出してみましょう。
また、あることに気づくと解くのがぐっとらくになります。

84通り

（解法１）



十の位、百の位、一の位の順に数が大きいのですから、その順に樹形図などを使って整理していきましょう。





そうすると、十の位が「９」のとき、７+６+５+…+２+１=28通り
十の位が「８」のとき、 ６+５+…+２+１=21通り
同様に、十の位が「７」のとき、 ５+４+…+２+１=15通り
「６」のとき、 ４+３+２+１=10通り
「５」のとき、 ３+２+１=６通り
「４」のとき、 ２+１=３通り
「３」のとき、 １通り

となります。
十の位が１または２の場合は百、または一の位が十の位より大きくなってしまうため、ありません。



よってこれらすべてを加えると、84通りとなります。

（解法２）



実はこの問題に関しては、９×８×７÷６=84という式でも求められます。
理由は以下の通りです。

１枚の１～９までの数字を並べてできる数字は全部で９×８×７通りあります。このうちどの３枚を選んだときも、百の位、十の位、一の位の数字の大きさは（百，十，一）の順で、
（大・中・小）（大・小・中）（中・小・大）（中・大・小）（小・中・大）（小・大・中）の６通りができます。
このうち問題の条件を満たすものは１つだけですから、全体を６で割ると答えが出ます。



このように、ある条件を満たす複数のものが、均等に散らばっている状態を「対称性がある」といいます。円卓に人が座っていくような場合などにもこういった考え方で、全体を均等に割れば答えが求まったりしますね。


また、この問題では、１～９までの数字から３枚を選んだとき、その３枚の並び方のうち、条件を満たすのは１つだけですから、結局
「１～９から３枚選ぶ選び方が何通りあるか」という組み合わせを求めるのと変わらないことになります。
こういった問題文の読みかえ、言いかえも重要な考え方のひとつです。

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　条件を絞り込む【対象学年：5年生以上】





次の会話は、春子さんと秋夫くんが数あてクイズをしている様子です。その数の約数は２つだけですか。



春子　その数の約数は２つだけですか。

秋夫　はい

春子　その数を５倍すると100より大きい数になりますか。

秋夫　はい

春子　その数を２回かけたら900より大きい数になりますか。

秋夫　いいえ

春子　その数は（　　ア　　）よりも大きいですか。

秋夫　はい

春子　その数は（　　イ　　）ですか。

秋夫　はい





（１）　（　　イ　　）にあてはまる数がただ１つになるような（　　ア　　）にあてはまる数のうち５の倍数を答えなさい。





（２）　（　　イ　　）にあてはまる数を答えなさい。





（平成16年頌栄女子学院中・第２回）

約数２つ　＝　素数

ある数　×　５　＝　100より大きい

ある数　×　ある数　＝　900より小さい



この条件を満たす数はかなり絞られますね。

　（１）25　　　（２）29

（１）

約数が２つあるということは、ある数は素数ということになります。また、ある数×５＝100より大きいということから、ある数は20より大きい数とわかります。次に、ある数×ある数＝900より小さいということから、ある数は30より小さい数とわかります。

以上の条件で数を並べてみると

21　22　23　24　25　26　27　28　29

これらの中で23と29の２つの数が残ります。

この２つの数をどちらが１つに絞り込むために５の倍数で比較するので25を基準にして比較することになります。よって、答えは25となります。



（２）

（１）より、ある数は25より大きいということがわかります。23と29の中で25より大きい数は29しかありません。よって、答えは29と決まります。





ポイント

条件を絞り込む際に、数をどこまで絞り込んだのか、絞り込んだ数をどの切り口で絞り込んでいくかが重要です。今回は、かなり細かい誘導がありましたが春子さんの質問の虫食いがより多かったときに春子さんの絞り込みの考え方ができたかどうか試してみるのも良いでしょう。

絞り込みのポイントは大きい切り口から細かい切り口へ絞り込んでいくことです。

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　うまく数えよう（場合の数）【対象学年：5年生以上】





10個のりんごをAさん、Bさん、Cさんの3人に配ります。3人がもらうりんごの数の分かれ方は何通りあるか。もらわない人がいても良い。

　一列に並んだ10個のりんごを想像してください。Aさんが左からいくつ取るかを決め、「ここまで貰う」という印で線を引きます。つぎにBさんが残りのりんごについて左からいくつ取るかを決めて線を引き、残りをCさんが取るという作業で貰う個数を決めていきます。

　12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めればよく　12×11÷（2×1）＝66通り

Aさんが3個、Bさんが4個、Cさんが3個貰うとすると、並んだりんごにはは次のように線が引かれています。

◯◯◯｜◯◯◯◯｜◯◯◯

Aさんが0個、Bさんが4個、Cさんが6個貰うとすると次のようになっています。

｜◯◯◯◯｜◯◯◯◯◯◯

Aさんが2個、Bさんが0個、Cさんが8個貰うとすると次のようになっています。

◯◯｜｜◯◯◯◯◯◯◯◯

つまり10個の◯（りんご）と2本の｜合わせて12個をどのように並べるかを考えればよいことがわかります。

これは、12個の空欄のうちどこの2つに｜を入れるかを考えればよいので12個の中から2つを選ぶ組み合わせを求めます。

この「仕切りの線」を考える方法は様々な場面で応用できます。

中学入試では、「A、B、Cの3つの箱に10個のボールを入れる入れ方は何通りか」という設定が多いですね。

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　対偶を利用しよう【対象学年：４年生以上】





　つぎのＣの結論がいえるためには、Ａ，Ｂのほかにどの条件が必要か。

適当なものを１～５の中から１つ選び、記号で答えなさい。



Ａ：理知的でない人は、判断力をもっていない。

Ｂ：企画力のある人は、理知的でない。

Ｃ：したがって、企画力のある人は判断力をもっている。



１　企画力のない人は、理知的な人ではない。

２　企画力のない人は、判断力のない人である。

３　判断力のない人は、理知的な人ではない。

４　判断力のある人は、理知的な人である。

５　理知的な人は、企画力をもっている。

　ありません。

　３

　Ａ～Ｃのなかで、Ａの「～でない人は～ない」の表現は、ほかと比べにくい。

選択肢１，２，３も同様です。

　このようなときには、対偶を用いて表現をそろえてやるとわかりやすくなります。



対偶とは、

「ＰならばＱである」があるとき、

「Ｑでなければ、Ｐでない」ことが

成り立つことをいいます。



たとえば、Ａの「理知的でない人は、判断力をもっていない」は、

「判断力をもっている人は、理知的である」といえるのです。

とすると、Ａ：判→理、Ｂ：企→理、Ｃ：企→判

よって、Ｃの結論がいえるためには、Ｂを利用して、企→理→判　が必要なことがわかります。


　
　ここで、理→判　を選択肢からさがすことになりますが、

　１：理→企（対偶）

　２：判→企（対偶）

　３：理→判（対偶）

　４：判→理

　５：理→企

となっているので、正解は３ですね。

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　ダイヤグラムの利用【対象学年：５年生以上（６年生以上推奨）】





　下のグラフは、Ａさんが７時３０分に家を出て、Ｂさんの家に行き、そこで４分間休んでからＢさんといっしょに学校へ行くときの時刻と道のりの関係を表しています。また、このグラフの中には、Ａさんのお姉さんが自転車で２人を追いかけ、７時５８分に追い越して８時ちょうどに学校についたようすも描かれています。これから、ＡさんとＢさんは何時何分に学校に着いたことがわかりますか。

　速さと道のりに関して何も与えられていないので、比を利用するしかありません。

　８時６分

　ＡさんとＢさんが４分休まなかったすれば、ずっと一定の速さでＡさんの家から学校まで行ったことになります。よって、Ｂさんの家で４分休むのではなく、Ａさんのスタートが４分遅れた（つまりＢさんとＢさんの家の前で会い、休むことなく学校まで行く）図を書きこんでみると、下のようになります。これより、Ａさんの家からＡさんのお姉さんと出会った位置までに、ＡさんとＢさんは２４分かかり、Ａさんのお姉さんは６分かかったことがわかります。

　同じ道のりを進むのに、ＡさんとＢさんは４倍の時間がかかるわけですから、Ａさんのお姉さんが学校に着くまでに８分かかっているので、ＡさんとＢさんは３２分かかっています。

　よって、７時３４分＋３２分＝８時６分とわかります。

　また、ダイヤグラムで重宝される「三角形の相似（ピラミッド・クロス）」を利用しても回答可能です。

　下の図から、青いピラミッドに注目して赤いクロスの相似比が３：１とわかるので、８時から６分進めればよいことがわかります。

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　分子が１の足し算に分ける【対象学年：5年生以上】





1）次の説明文の□にはいる数字を答えなさい。



3÷5　＝　　と表すことができます。

この　　を分子が１になるたし算で表すためには次のように考えます。



３÷５は３つのものを５つにわけるという意味があります。

3つのケーキを5人（A・B・C・D・E）で分けることを考えると１こずつとることはできません。

なので、半分にして1つずつとっていくと考えます。

まずは、1人が　　とったことになります。

次にのこりのケーキを5人でわけると考えます。

このとき1人がとった大きさはケーキ１この大きさを　　こに分けた１つぶんなので　　となります。

よって、
　＝　　＋　　となります。

（2）4÷5の答えを分子が１の分数になる分数のたし算で答えなさい。

　誘導をよく読みましょう。

(1)10


（2）

（1）の部分が間違えやすいところです。単純に と答えてしまいそうですが、このときとった大きさはケーキ１こを10こに分けた１つ分であることに注意することが必要です。





（2）
（1）の考え方でやってみると下のような図になります。



のこりを分ける



さらにのこりをわける





ひとり分をあわせていくと上から順に　　となります。

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　隠れた制限を考えます【対象学年：5年生以上】





　全体の人数が100人以上、200人未満の学校があります。

この学校の生徒を通学地域別のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの5つのグループに分けたら、次のようになりました。

（1）Ａの人数はＢの人数の1.2倍

（２）Ｃの人数はＢの人数の1.4倍より3人少ない

（３）Ｄの人数はＣの人数より5人少ない

（４）Ｅの人数はＡの人数より1人多い

条件を満たすＢの人数は何通り考えられますか。

（芝中）

　分数で考えてみましょう。

（1）より

Ａ対Ｂ＝1.2:1＝6:5

よって、Ａの人数は6の倍数、Ｂの人数は5の倍数となる。

（2）より

Ｂ：Ｃ+3＝1:1.4＝5:7

Bをとすると、Ａは、Ｃは-3人、Ｄは-3人、Ｅは+1人

合計は－10人

よってが110人以上210人未満となる。

これを満たすは4人、5人、6人の3通り。

よってＢの人数も20人、25人、30人の3通り。

問題文に明記されていないのですが、この問題を解く上で最も重要な条件は

人数は整数

ということです。

Ａ＝Ｂ×1.2ですから、Ｂは5の倍数でないとＡは整数になりません。分数で考えれば、Ａ＝Ｂ×6/5ですからより気づきやすいことでしょう。

本問の「整数制限」など、当たり前なので明記されていない「隠れた制限」には様々なものがありますが、普段気づかなくても「ミス」で片付けてしまいがちです。問題では解答のための鍵になることが多いのできちんと整理してチェックリストを頭の中に作っておくことが大切です。

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　それぞれの位に注目しましょう【対象学年：4年生以上】





100は４で割り切れます。

1000は４で割り切れます。

10000は４で割り切れます。

278632は

200000と

70000　と

8000 と

600 と

32でできています。

それぞれの数は全て4で割り切れます。

(1)27？632は４で割り切れます。

？ に入る数を全て答えなさい。

(2)777777777777？2

？ に入る数を全て答えなさい。

　ありません。

(1)1・2・3・4・5・6・7・8・9・0

(2)1・3・5・7・9

3桁以上の数を位ごとに分けて考えると百の位以上の数は下2桁が00になります。その時百の位以上の数は100の倍数になっているということです。よって、百の位以上の数は必ず4で割り切れるということです。

なので、4で割り切れるかどうかは下2桁が4で割れるかどうかを調べればよいということになります。

下2桁が00のときも4で割り切れることにも注意しましょう。

(1)下2桁が4で割り切れればよいので千の位は何が入ってもよいです。

(2)下2桁で一の位が２で4で割り切れる数をさがせばよいです。

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　隠れた制限を考えましょう【対象学年：4年生以上】





太郎君、次郎君、三郎君、四郎君の4人は携帯電話を持っています。
5月に4人の中で電話で会話をした回数を尋ねたところ、
太郎君：35回
次郎君：28回
三郎君：29回
四郎君：41回
と答えました。
誰かが回数を間違えて答えていることを説明してください。

　誰が間違えているのかはわかりません。

全員の会話の回数の合計は

35＋28＋29＋41＝133回

133は奇数なのでありえない。つまり、誰かが回数を間違えていると言える。

さて、なぜ全員の会話の回数の合計が奇数にはなりえないのでしょうか。
それは、1回の会話について、2人がカウントするので会話の回数の合計は2ずつ増えていくからです。
つまり、太郎君と次郎君が会話を1回すると、太郎君と次郎君がそれぞれ1回カウントするということです。

計算で説明してみましょう。
太郎君と次郎君の会話の回数をA
太郎君と三郎君の会話の回数をB
太郎君と四郎君の会話の回数をC
次郎君と三郎君の会話の回数をD
次郎君と四郎君の会話の回数をE
三郎君と四郎君の会話の回数をF
とすると
太郎君は35回会話をしたというので
A＋B＋C＝35
といえます。
同様に次郎君は28回会話をしたというので
A＋D＋E＝28
となります。
三郎君については
B＋D＋F＝29
四郎君については
C＋E＋F＝41
がいえます。
まとめると
A＋B＋C＝35
A＋D＋E＝28
B＋D＋F＝29
C＋E＋F＝41
です。
すべて足し合せると
A＋A＋B＋B＋C＋C＋D＋D＋E＋F＝133
つまり
2×（A+B＋C＋D＋E＋F）＝133
です。
＝の左側は2をかけているので偶数で右側の133は奇数ですね。
これは合計133がおかしい、つまり誰かが回数を間違えて答えているということです。


「考える算数」の「隠れた制限を考える」の授業などで取り上げられる問題ですね。偶・奇の制限は問われることも多いので必ずチェックする項目として覚えておきましょう。

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　ひっかかりやすい積み木の個数【対象学年：４年生以上】





　下の図１は、小さな立方体をいくつか使ってつくった立体を、正面、上、右からそれぞれ見た図です。この場合、最も少なくて６個、最も多くて８個の立方体で作ることができます。
　では、図２のように見えるようにするには、最も少なくて何個の立方体が必要ですか。

　上から見た９か所すべてに立方体は必要でしょうか？

　１１個

　まず、図１が６個～８個でできることを考えてみましょう。
上から見た図の中に、正面、右から見た（積み上がった最大の）立方体の情報を書き込んでみると、次の図のようになります。

　さて、図２の場合を考えてみます。同じように、上から見た図の中に情報を書きこむと次のようになります。説明のために、ア～ケと名前をつけておきます。

　まず、１個しか積み上がって見えない「イ・オ・ク・エ・カ」は１個と考えられます。また、最大である３個積み上がっている場所はできるだけ少ない方がよいわけですから、「キ」が３個と考えられます。同様に、２個積み上がっている場所もできるだけ少ない方がよいわけですから、「ウ」が２個と考えれらます。
残った「ア・ケ」はあればよいわけですから、１個と考えられます。以上より、全部で１２個となります。

　しかし、実はこれは最小の個数ではありません。図のオをつくる４辺は、まわりに立方体がありさえすれば存在しますから、実はオは０個で構いません（オ意外の場所は、まわりに囲まれているわけではないので、そこに立方体がないと４辺ができあがらないため、１個以上必要になります）。
以上より、本当の最小の個数は１１個となります。

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