学習塾ロジム　今週の1問by 学習塾ロジム

慎重さは大切にしたいものです。

　ある草野球チームは、昨年の夏の野球大会のときにメンバーは全部で56人で、平均の年令は28才でした。今年は、夏の野球大会までに新しく８人のメンバーが加わりましたが、平均の年令は28才のままでした。新しく入った８人のメンバーの平均の年令は何才ですか。

　あえて、なしにします。

　21才

　平均が変わらないわけですから、あとから入った８人のメンバーの平均も28才では？と、思いがちですが、実はそうではありません。

　昨年からいたメンバーは、今年１才年をとっていますから、平均29才の56人に、新しく８人が加わって平均28才にしなければならないのです。

　よって、今年のメンバー全員の年令の合計は64×28＝1792才です。このうち、昨年からいたメンバーの年令の合計は56×29＝1624才ですから、新しく入った８人の合計は168才とわかります。
これより、168÷８＝21才となります。

　平均に対して瞬時に反応できた方が、逆に誤答を導きやすい問題といえるでしょう。何よりも慎重さが大切だというメッセージが隠れた問題です。

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１つの単純なゲームです。

　下の図のように、あるクラスの32人の生徒が並んでいます。
いま、前後左右の隣にいる人（斜めはなし）と手をつないで、全員で大きな輪をつくることにします。
ただし、全員２本とも手をつなぎ、同じところで３人以上が手をつなぐことはありません。
このとき、どのように手をつないだらよいですか。

　誰と手をつなぐかが明らかな生徒に注目しましょう。

　簡単にするために、下の図のようにア～ミの32個の点を線で結ぶと考えます。
　ちなみに、与えられた条件から線が「交わる」「枝分かれする」「行き止まりになる」ということは避けなければなりません。このルールを守って、それぞれの点を隣り合う２点とうまく結んでいけばよいのです。

　まず、ア、イ、ウ、オ、ト、ノ、ヒ、フ、マ、ミの10点は、隣り合う点が２点しかないため、必然とつなぐ点がわかります（青）。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（緑）。
　・カはキと結ぶことができないので、シと結ぶしかありません。
　・ヌはネと結ぶことができないので、ツと結ぶしかありません。
　・ヘはホと結ぶことができないので、ネと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（黄）。
　・テはネと結ぶことができないので、ス、ツと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（オレンジ）。
　・シはツと結ぶことができないので、スと結ぶしかありません。

　続いて、これによってつなぐ点が決まる部分を探していきます（ピンク）。
　・キはカ、スと結ぶことができないので、クと結ぶしかありません。

　ここまでくれば、あとは１つの輪になるようすが見えてくるはずです。それを結びます（紫）。
　・ク－セ－ソ、ケ－コ－タ－ナ、サ－チ－ニでできあがりです。

　ただいたずらに調べていくのではなく、このように「これしかありえない」という限られた条件部分を探すことは大切です。

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　周期がわかれば、世界が広がります。

　大きさのちがう砂時計Ａ、Ｂ、Ｃがあります。Ａの砂時計は、砂が全部落ちるまでに３分かかり、Ｂ、Ｃはそれぞれ５分、８分かかります。
　いま、砂が全部落ちた状態のＡ、Ｂ、Ｃを並べて同時にひっくり返し、それぞれ砂が全部落ちるたびにすぐにひっくり返すことを繰り返します。ただし、Ａだけは全部砂が落ちたときに限らず、Ｂ、Ｃをそれぞれひっくり返すたびに一緒にひっくり返すことにします。
　スタートのひっくり返しは数えないものとして、１時間の間にＡは何回ひっくり返されますか。

　繰り返すのですから・・・？

36回

　まず、ある操作を繰り返すわけですから、必ず周期があるはずです。その周期が見つかるまで、とりあえず書き出してみます。
　しかし、ここで注意しなければならないのは、ＢとＣの単純な周期に比べ、Ａはかなり複雑です。例えば、１分だけ砂を落とした状態でひっくり返すと、再び１分で砂は落ちきってしまいます（図）。例えば、下の表で３分のときにひっくり返ったＡが５分のときにＢと同時にひっくり返るため、２分ぶんの砂が落ちています。よって、このＡをひっくり返すことでＡはまた２分後（つまり７分のとき）に砂が全部落ちてひっくり返ることになることを表しています。これにしたがって、ていねいに表をつくっていけば、40分の周期で繰り返されることがわかります。
　40分の間にＡがひっくり返るのは24回あり、残りの20分の間に12回ありますから、全部で36回となります。

　このように、周期がわかることでその先は調べることなく求めることができます。例えば、１日（24時間）砂時計をひっくり返し続けた場合、1440分÷40分＝36ですから、24回×36＝864回と計算で求めることができるのです。
　調べ上げる問題で周期を見つけることは、とても重要なスキルといえるでしょう。

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　円周率は、3.14でしょうか？

　下の図のように、１辺が５cmの正方形の画用紙に、半径５cmの四分円（円を４等分したもの）を書き、アとイの部分に分けました。
この画用紙に、でたらめに100個の砂の粒（大きさはどれも同じ）をまいたところ、アの中には22個、イの中には78個ありました。また、四分円の線の上には砂の粒はありませんでした。
　これについて、次の問いに答えなさい。

(1) このことから、イの面積は何平方cmであるとわかりますか。

(2) このことからわかる円周率は、いくつですか。

　広いほど、砂はたくさん入ります。

(1) 19.5平方cm
(2) 3.12

　まず、でたらめに100個の砂の粒をまいているので、これらは均等に散らばっていると考えることができます。
つまり、２倍の広さがあれば２倍の個数の砂が入るということですから、面積と砂の個数が比例することがわかります。
　ここで、正方形の中の100個の砂の粒のうち、イの部分には78個入っているので、正方形の面積の78/100倍がイの面積になります。

　また、このときの円周率を□とすると、下の式から□＝3.12と求められます。

　さて、円周率はよく3.14が用いられますが、これは本当の値ではありません。
円周率は無限に続く小数で、計算で扱うのが不便であることから、
近似値（近い値）として3.14を使っているにすぎないのです。

例えば、入試問題を見ても「円周率を３で計算しなさい」や「円周率を3.1とする」などがあるのはそのためです。
よく注意しましょう。

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　概算で見当をつける習慣はありますか？

　厚さが0.1㎜の紙を1回折ると厚さは0.2㎜、2回折ると厚さは0.4㎜になります。この紙は何回も折ることができるものとして、30回折ると厚さはどれくらいになりますか。次の中から最も近いものを選びなさい。
　　ア．1m
　　イ．10m
　　ウ．100m
　　エ．1km
　　オ．10km
　　カ．100km
　　キ．1000km
　　ク．10000km

　きまりにしたがって計算していくだけです。

カ．100km

一度折ることで、厚さは倍になります。これを繰り返すわけですから、単にどんどん2倍していけばよいのです。
　ここで、30回折るということは、「2倍」を30回続ければよいのです。

　しかし、ここで注意が必要です。「×2」が30個集まると「×60」にはなりません。どんどん2倍していくわけですから、2倍、4倍、8倍、16倍、32倍、64倍、128倍・・・というようになっていきます。これを30回繰り返すことで、答えにたどり着きます。

　ただ、これでは計算がかなり大変ですし、とんでもなく大きな数になることは容易に想像がつくでしょう。
この問題では、キリのよい選択肢から最も近いものを選ぶだけですから、大体の感覚がつかめればよいのです。
そこで、2を10回かけ合わせると1024になる（この知識を持っていなかったとしても、10回くらいまでなら簡単に調べられます）ことから、これをおよそ1000と考えて、以下のように計算できます。

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　合同条件は「正しく」言えなければ「知らない」のと同じです。

　ある2つの三角形が合同（ぴったり重なる形）であるといえるための条件を3つ答えなさい。

　ありません。

1．3つの辺の長さがそれぞれ等しい。（3辺相等）
2．2つの辺の長さとその間の角の大きさがそれぞれ等しい。（2辺夾角相等）
3．1つの辺の長さとその両端の角の大きさがそれぞれ等しい。（2角夾辺相等）

　三角形が合同であるための条件が言えれば、必ず1通りの三角形に定まります。
実際に作図をして確かめてみるとよいでしょう。

　さて、ここでよくある間違いが次のものです。

1．3つの辺の長さが等しい。
※これでは、まるで正三角形をいっているようなものですね。

2．2つの辺の長さとその間の角が等しい。
※辺の長さと角の大きさが等しい・・・？

3．1つの辺の長さとその両端の角が等しい。
※辺の長さと角の大きさが等しい・・・？

　つまり、２つの三角形で対応する部分が互いに等しいことを意味する「それぞれ」が抜けてしまいがちなのです。
ぜひ、気をつけて下さい。
　ちなみに、「相等」とういう言葉は「互いに等しい」という意味ですから、この場合「それぞれ」は当然不要です。

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分数倍を使いこなせますか？

図3、図4は、数を矢印についている比に分けていく様子を表しています。たとえば、図3の場合、12が1：5に分かれて、2と10になります。図4のウ、エ、オに入る数はそれぞれいくつですか。（2008サレジオ学院中より一部抜粋）

ただの比の計算ですが、すべて求める必要はありません。

　ウ63
　エ126
　オ14

　実際に2008年にサレジオ学院中学校で出題された算数の問題（しかも最後の設問）です。

数字を順に比例配分していくだけですし、途中で分数や小数が出てくることもありません。時間さえ気にしなければ、誰も「難しい」とは感じることがないでしょう。

しかし、これが実際の入試問題なのです。日ごろから数の感覚（倍数、比、およその数の見当）が磨かれていないと、無駄に時間を費やしてしまう、もしくはつまらないミスで正答に至れない1問に値し、意外にも受験生の正答率に差が出たことでしょう。

（ちなみに、この問題を書きながらではないと処理できないようでは、比の感覚が弱いと言わざるを得ません。ぜひ、暗算によって数秒で処理できるようになって下さい。）

ウについて。
「315を1：2に分けたうちの1に当たる数」は、「315を3個に分けたうちの1個分」ということなので、315÷3×1＝105です。

次に、ウはこの「105を2：3に分けたうちの3に当たる数」ですから、同様にして「105を5個に分けたうちの3個分」となり、105÷5×3＝63と求められます。

さて、ここで気づいたかもしれませんが、比例配分は分数と考え方が同じです。

たとえば、「ＡをＢ：Ｃに分けたうちのＢに当たる数」＝「Ａを（Ｂ＋Ｃ）個に分けたうちのＢ個分」ですから、式としてはＡ÷（Ｂ＋Ｃ）×Ｂとなり、分数を利用すると結局次のように表せます。

このように、比例配分された量を、分数を使って求める方法を「分数倍」といいます。特に、図形の中で比を使っていくときなどで威力を発揮します。

これを使って、エとオを計算すると、次のように求められます。

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簡単すぎて間違えること、ありませんか？

　下の図のように、２g、３g、７gのおもりが１個ずつあります。これらを使って上皿てんびんで色々な物の重さを量るとき、量ることができる重さは何通りありますか。ただし、おもりは左右どちらの皿にものせてもかまいません。

最大で12gです。

11通り

　まず、単純に１つの皿におもりをのせていくことを考えます。のせた分だけ量ることのできる重さは増えますから、「和」を考えていけばよいのです。
１つ・・・２g、３g、７g
２つ・・・５（２＋３）g、９（２＋７）g、10（３＋７）g
３つ・・・12（２＋３＋７）g

　次に、これでは作ることのできなかった重さが工夫して作れないか、考えます。

　たとえば、一方の皿に３gのおもりを、もう一方の皿に２ｇのおもりをのせた場合、このてんびんをつりあわせるために必要な物の重さは３－２＝１gとなります。つまり、反対の皿にのせた２gのおもりが、３gのおもりの重さのうち２g分を打ち消してくれているのです。このことから、反対の皿にのせることによっておもりの重さの「差」を考えることができます。

※以下、赤数字は反対の皿にのせて打ち消した重さ
１gを作る・・・３－２＝１で可能
４gを作る・・・７－３＝４で可能
６gを作る・・・２＋７－３＝６で可能
８gを作る・・・３＋７－２＝８で可能
11gを作る・・・不可能

　以上より、11gのみ作ることができないので、全部で11通りとなります。

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2009年　サレジオ学院中学校（社会）より

　次の実験内容と結果をみてわかることとして、最も適当なものをア～エから１つ選びなさい。

＜実験＞
　ある学校の生徒200人に、「自分が担当されたい教員を選びなさい」という質問において、(1)と(2)という２問について、Ａ、Ｂどちらの先生が良いか、回答してもらいました。

(1)A先生とB先生どちらがよいですか
Ａ先生・・・規則を破ってまで無理に勉強させることはしませんが、勉強以外のことはまったく面倒をみません。
Ｂ先生・・・場合によっては、規則を破ってまで無理に勉強をさせることもありますが、勉強以外でもよく面倒をみてくれます。

(2)A先生とB先生どちらがよいですか
Ａ先生・・・勉強以外のことはまったく面倒をみませんが、規則を破ってまで無理に勉強させることはしません。
Ｂ先生・・・勉強以外のこともよく面倒をみてくれますが、場合によっては規則を破ってまで無理に勉強をさせることがあります。

＜結果＞
(1) Ａ先生・・・78人（39％）　Ｂ先生・・・122人（61％）
(2) Ａ先生・・・104人（52％）　Ｂ先生・・・96人（48％）

ア．(1)、(2)のどちらの問についても、Ａ先生の方が良い先生だという見方をする生徒が大半を占めています。
イ．情報は伝え方により、同じ事実を伝えても、受け取る人々の印象が大きく異なってしまいます。
ウ．事実を明確に伝えることで、人々はその事実に対して、ほぼ同じような理解を示します。
エ．(1)、(2)ともに、聞いている内容がまったく異なるので、Ａ先生とＢ先生を比較することは出来ません。

消去法でも可能ですが・・・。

イ

　問題を読んで、おそらくどのようなことが問われているのか想像できてしまう人も多いと思いますが、一応それぞれの選択肢をみてみましょう。

ア・・・(1)では明らかにＢ先生の方が良いという結果になっているのであてはまりません。
ウ・・・(1)と(2)では、伝える順番の前後がいれかわっているだけで、内容自体に変化はありません。しかし結果を見ると、(1)と(2)では明らかにその先生に対する印象が変化しています。よって、あてはまりません。
エ・・・(1)と(2)は、内容としては一致しています。

　というように、情報は伝え方（話す順序、比較対象など）によって相手に与える印象が変わってくるということです。

　例えば、

「○○くんは、××はやらないし話も集中して聞けないから期待できないけど、本気出してがむしゃらに勉強すれば相当伸びるよね・・・」

「○○くんは、本気出してがむしゃらに勉強すれば相当伸びるだろうけど、××はやらないし話も集中して聞けないから期待できないよね・・・」

では、相当印象が変わるはずです。

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2009年　国府台女子学院中入試（国語）より

　次の（例）は正しい議論の進め方をしています。これを参考にして、正しい議論の進め方をしていれば○、間違っていれば×をそれぞれつけなさい。

（例）人間はいつか死ぬ。　太郎は人間だ。　だから、太郎はいつか死ぬ。

(1) 鳥は卵を産む。　Ａは卵を産んだ。　だから、Ａは鳥である。
(2) 物体にはＢという力がはたらいている。　Ｃは物体の一種である。　だから、ＣにはＢという力がはたらいている。
(3) 私の本だなには百冊の本が並んでいる。　Ｄはきわめて貴重な本である。　だから、私の本だなには貴重な本がある。

「だから」という接続語による文のつながりです。

(1) ×
(2) ○
(3) ×

　　「だから」は、「原因・理由」となる前の文と「結論・結果」となる後ろの文をつなぐための言葉です。よって、この問題の場合、だからの前の２つの文から、だからの後ろの文が確実に言えれば正しい議論の進め方をしていることになります。
　ここで、「ＸはＹである」は「どのようなＸでも必ずＹである」ということですから、Ｙの集合の中にＸの集合が入った状態（図１）で書き表すことが可能です。これをもとに、(1)～(3)を図示してみます。

(1)

つまり、Ａは鳥ではない可能性があるので、正しい議論とはいえません。

(2)

この場合、必ずＣはＢがはたらく集合に入ります。よって、正しい議論といえます。

(3)
百冊の本ときわめて貴重な本のつながりが不明なので、正しい議論とはいえません。
ちなみに、この問題の結論を導くのであれば、だからの前の理由の文が、
「Ｄは私の本だなにある。　Ｄはきわめて貴重な本である。（一例）」などが考えられますね。

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「AはBである」という命題を見た際に、『Bという集合の中にAがいる』という図を思い浮かべられることは非常に重要です。

「3年B組の人はカレー好きだ」と「カレー好きは3年B組みの生徒だ」の違いは関係図を書けば一目瞭然ですね。

講師が国語の選択問題を作る際、本来「AならばB」となる記述を、「BならばA」という記述を設置して解答者を惑わします。

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